Domaines de définition, injective, bijective et consorts

[Subsib]

Bonjour,

Il y a quelques notions que j'ai du mal à comprendre, notamment dans les domaines de fonctions.

J'ai dans mon syllabus une fonction citée en exemple qui est bêtement la fonction valeur absolue.
On me dit qu'elle envoie R dans R... Mais les images de f(x) sont toutes positives, ce n'est pas faux d'écrire cela ?
f : R->R : x->|x| ?
Je pensais que du coup, je devais plutôt noter :
f : R -> R+ : x -> |x|
??

Parce qu'en parallèle, y a ces histoires de bijection/injection, surjection que je ne saisis pas très bien, du coup, je me mélange ptete un peu.
Notamment, si j'ai bien compris, injective c'est que tous les éléments de l'ensemble d'origine (l'ensemble de x dans la fonction f(x) ?) ont une image dans l'ensemble d'arrivée ?!

En fait, je suis désolée, j'ai lu pas mal d'explications, wikipedia, regardé des vidéos, relu cours etc. mais je ne comprends pas "concrètement" ce que cela signifie :s

Si quelqu'un avait la patience de me donner quelques exemples pour illustrer ça, ça m'aiderait beaucoup.

Exemple : f:[0,1]->R :x->5x
est injective, car tous les x compris entre 0 et 1 trouvent une image en R
n'est pas surjective car tous les R ne trouvent pas d'antécédent en [0,1],
du coup, n'est pas bijective car c'est les deux ?!
Est-ce que c'est quelque chose comme ça ??

Merci d'avance :)

[Monsieur23]

Bonjour,

Aloha,

J'ai dans mon syllabus une fonction citée en exemple qui est bêtement la fonction valeur absolue.
On me dit qu'elle envoie R dans R... Mais les images de f(x) sont toutes positives, ce n'est pas faux d'écrire cela ?
f : R->R : x->|x| ?
Je pensais que du coup, je devais plutôt noter :
f : R -> R+ : x -> |x|
??

C'est un peu compliqué en fait : quand tu définis une fonction, tu la définis sur un ensemble de départ D : chaque élément de D doit avoir une image par f (c'est à dire que pour chaque élément x de D, tu dois donner la définition de f(x)).

Pour l'ensemble de départ, tu peux prendre n'importe quoi "d'assez gros". Dans ton exemple, tu as bien le droit de dire que ta fonction arrive dans R : toutes les images des éléments de l'ensemble de départ (R) sont bien dans R.
Mais elles sont aussi dans R;), et donc ta deuxième notation est aussi correcte (elle est même plus précise).
Mais on pourrait tout aussi bien dire qu'elle arrive dans C.

On ne peut par contre pas dire qu'elle arrive dans Q : par exemple f(pi) n'est pas dans Q.

Parce qu'en parallèle, y a ces histoires de bijection/injection, surjection que je ne saisis pas très bien, du coup, je me mélange ptete un peu.
Notamment, si j'ai bien compris, injective c'est que tous les éléments de l'ensemble d'origine (l'ensemble de x dans la fonction f(x) ?) ont une image dans l'ensemble d'arrivée ?!

En fait, je suis désolée, j'ai lu pas mal d'explications, wikipedia, regardé des vidéos, relu cours etc. mais je ne comprends pas "concrètement" ce que cela signifie :s

Si quelqu'un avait la patience de me donner quelques exemples pour illustrer ça, ça m'aiderait beaucoup.

C'est simple en fait : prenons le dessin de la page wikipédia "Injection (mathématiques)".
Dans la case surjection, on voit que pour tous les points de la patate de droite, il y a au moins une flèche qui y arrive : c'est la définition de surjection.
Dans la case injection, on voit que pour tous les points de la patate de droite, il y au plus une flèche qui y arrive : c'est la définition d'injection.
Dans la case bijection, on voit que pour tous les points de la patate de droite, il y a exactement une flèche qui y arrive : c'est la définition de bijection.

Exemple : f:[0,1]->R ->5x
est injective, car tous les x compris entre 0 et 1 trouvent une image en R
n'est pas surjective car tous les R ne trouvent pas d'antécédent en [0,1],
du coup, n'est pas bijective car c'est les deux ?!
Est-ce que c'est quelque chose comme ça ??

Le fait que tous les x entre 0 et 1 aient une image, c'est la définition de fonction (tous point de l'ensemble de départ doit avoir une image).
Pour montrer que f est injective, il faut que tu montres que si tu prends n'importe quel élément y de l'ensemble d'arrivée (ici, c'est R), tu as AU PLUS (c'est-à-dire 0 ou 1) un élément dont l'image est y.

f n'est bien pas surjective : est-ce que tu peux donner un exemple d'élément de R qui n'a pas d'antécédent par f ?

Comme f n'est pas surjective, elle n'est a fortiori pas bijective.

[Subsib]

Le fait que tous les x entre 0 et 1 aient une image, c'est la définition de fonction (tous point de l'ensemble de départ doit avoir une image).

me semblait bien que je ne trouvais pas d'exemple de fonction qui ne fonctionne pas avec cette règle-là

Pour montrer que f est injective, il faut que tu montres que si tu prends n'importe quel élément y de l'ensemble d'arrivée (ici, c'est R), tu as AU PLUS (c'est-à-dire 0 ou 1) un élément dont l'image est y.

est-ce que je peux considérer qu'injective est donc un synonyme de "strictement croissante" ou "strictement décroissante" ?

f n'est bien pas surjective : est-ce que tu peux donner un exemple d'élément de R qui n'a pas d'antécédent par f ?

heu... Je dirais par exemple y = 5.5, car 5.5 n'a pas d'antécédent dans [0,1] ?
Mais dans ce cas, si je mets quelque chose comme :
f:[0,1]->[0,5]:X->5X
elle sera injective Et surjective et donc bijective, c'est ça ?

[Monsieur23]

est-ce que je peux considérer qu'injective est donc un synonyme de "strictement croissante" ou "strictement décroissante" ?

Non : si une fonction est strictement croissante, ou strictement décroissante, alors elle est injective, mais la réciproque est fausse (peux-tu trouver un contre exemple ?)

heu... Je dirais par exemple y = 5.5, car 5.5 n'a pas d'antécédent dans [0,1] ?
Mais dans ce cas, si je mets quelque chose comme :
f:[0,1]->[0,5]:X->5X
elle sera injective Et surjective et donc bijective, c'est ça ?

C'est bien ça ! La surjectivité dépend de ce que tu choisis comme ensemble d'arrivée

[Subsib]

Non : si une fonction est strictement croissante, ou strictement décroissante, alors elle est injective, mais la réciproque est fausse (peux-tu trouver un contre exemple ?)

hum, je me demande si cela n'a pas rapport avec la continuité d'une fonction ?! Une fonction qui n'est pas continue n'est pas strictement croissante, et pourtant, elle peut-être injective ?! La fonction inverse... Mais bon, elle n'est pas définie sur 0 de toute façon...
Mais elle est strictement décroissante sur ]-inf;0[ u ]0; +inf[ et si je prends f(-1), qui vaut -1, c'est plus petit que f(1) qui vaut 1...

Sinon, je ne sais pas :hein:

[Monsieur23]

En fait, pour l'instant, il n'y a aucun rapport avec la continuité/croissance, quand tu regardes les fonctions comme des flèches entre des patates, tu n'as pas de notion de continuité ou croissance !

Par exemple, la fonction de R dans R qui envoie 0 sur 1, 1 sur 0, et les autres réels sur eux-mêmes est injective, mais ni croissante, ni décroissante, ni continue.

[Subsib]

En fait, pour l'instant, il n'y a aucun rapport avec la continuité/croissance, quand tu regardes les fonctions comme des flèches entre des patates, tu n'as pas de notion de continuité ou croissance !

Par exemple, la fonction de R dans R qui envoie 0 sur 1, 1 sur 0, et les autres réels sur eux-mêmes est injective, mais ni croissante, ni décroissante, ni continue.

aaaaaaah Ok !!! Je vois, en effet !! C'est une fonction un peu tordue mais un contre-exemple bien parlant !


Merci beaucoup beaucoup beaucoup pour toute cette explication, j'y vois bien plus clair maintenant

[Monsieur23]

De rien!
N'hésite pas à faire des exercices pour être sûr que tu as bien tout saisi :-) (et n'hésites pas à rouvrir un sujet si tu bloques)