Domaine de def

[roni]

bonjour, pouvez vous m'aider ou me donner une idée svp:

trouver le domaine de definition de la fonction definie par :



merci d'avance

[jlbis]

Etudie le signe de l'expression sous la racine.
Tu distingueras les cas x<0 et x>0 pour encadrer l'expression sachant que 1<t<6

[roni]

salut, j'ai essayé cela mais ça ne marche pas, puisque les coeff (qui dependent de t), changent de signe, que faire alors?

[roni]

salut, j'ai essayé

[jlb]

Bon je t'aide pour le cas x>0

Tu sais que 1<t<6 donc
-1< lnt - 1< ln6 -1 et -x<x^3 (lnt-1)^<(ln6 -1)x^3
-3<3-t<2 et et -3x<(3-t)x<2x
e-1<e^t-1<e^6-1
Tu en déduis que pour x>0, -4x + e-1< (lnt-1)x^3 + (3-t)x + e^t-1 et il te reste à trouver la condition sur x>0 pour que -4x+e-1>0

Je te laisse terminer.

Oups, désolé, comme cela tu ne vas pas trouver ton ensemble de définition mais bon tu en trouves une partie.

[roni]

-3x+e-1 est-elle l'inf de la fonction à integrer sur [1;6]?

[jlb]

C'est un minorant uniquement, tu ne vas pas trouver du coup forcément ce que tu cherches. Désolé. Par contre, pour x<0, tu obtiens un résultat intéressant. Je vérifie.

En fait oublie tout ce que je t'ai dit!! bien fatigué, je viens de "voir" une grosse erreur de calcul.
Désolé, vraiment.

[roni]

On ne peut pas l'expliciter ?
Si on peut trouver l'inf, en fonction de x, mais comment faire cela?
Des idées?

[roni]

on ne peut expliciter ce domain comme un intervalle ou une reunion d'intervalle de R?

[Ben314]

Salut,
Avec principalement du calcul numérique, je trouve que le domaine de définition est où, si , alors :
- Le réel est la solution en du système d'équations pour (la solution est en fait )
- Le réel est l'unique solution de l'équation (polynomiale) .

[roni]

Salut, pouvez vous expliquez pourquoi vous avez resout ce systeme et comment on a obtenir le domaine svp?

[Black Jack]

g(x) = (ln(t)-1).x³ + (3-t)*x + e^t - 1

g'(x) = 3x².(ln(t)-1) + (3-t)

g'(x) = 0 pour x² = (t-3)/(3.(ln(t) - 1))

g'(x) = 0 pour |x| = RCarrée[(t-3)/(3.(ln(t) - 1))]

h(t) = (t-3)/(3.(ln(t) - 1))

a)

Pour t dans [1 ; e[, h(t) > 0 et donc g'(x) = 0 pour x = - RCarrée[(t-3)/(3.(ln(t) - 1))] et pour x = RCarrée[(t-3)/(3.(ln(t) - 1))]

g'(x) < 0 pour x dans ]-oo ; - RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))]
g'(x) = 0 pour x = - RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))
g'(x) > 0 pour x dans ]- RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1)) ; RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))]
g'(x) = 0 pour x = RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))
g'(x) < 0 pour x dans ]RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1)) ; +oo]

g a un minimum local pour x = - RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))
et ce minimum local est > 0

Il reste à trouver la valeur min de x telle que g(x) = 0 (ce sera une valeur de x > RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1)))

(ln(t)-1).x³ + (3-t)*x + e^t - 1 = 0 (pour t dans [1 ; e[)

ce sera pour t = 1 (à démontrer) --> pour -x³ + 2x + e - 1 = 0 (avec x > RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))), x > Rcarrée(2/3))
x = 1,73008...


b)
Pour t dans ]e ; 3], h(t) < 0, g'(x) n'est jamais nul, g'(x) > 0 et donc g(x) décroissante

g(x) =0 pour la valeur la moins négative pour t = 3, donc pour (ln(3)-1).x³ + (3-3)*x + e^3 - 1 = 0
(ln(3)-1).x³ + e^3 - 1 = 0
x³ = (1-e³)/(ln(3)-1)
x = -5,78439...

c)
Pour t dans ]3 ; 6[, h(t) > 0 et donc g'(x) = 0 pour x = - RCarrée[(t-3)/(3.(ln(t) - 1))] et pour x = RCarrée[(t-3)/(3.(ln(t) - 1))]

g'(x) > 0 pour x dans ]-oo ; - RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))]
g'(x) = 0 pour x = - RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))
g'(x) < 0 pour x dans ]- RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1)) ; RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))]
g'(x) = 0 pour x = RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))
g'(x) > 0 pour x dans ]RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1)) ; +oo]

... le min local et le max local de g(x) sont > 0

Il faut alors chercher la valeur de x max (qui sera < RCarrée((t-3)/(3.(ln(t) - 1))) pour laquelle g(x) = 0 (pour t dans ]3 ; 6])

x = -5,158 environ. (en tâtonnant).

Donc, en mélangeant raisonnement et tâtonnement, on arrive à un domaine de définition [-5,158 ; 1,73008] (environ)

[roni]

Pour quelle valeur se t, La derniere valeur de x =-5,1 est-elle obtenue?

[Ben314]

Pour quelle valeur se t, La derniere valeur de x =-5,1 est-elle obtenue?

Tu sait pas lire ?

- Le réel est la solution en du système d'équations pour (la solution est en fait )

Sinon, pour répondre à Black Jack concernant cette partie où je sais pas comment il a procédé :

... x = -5,158 environ. (en tâtonnant)

Avec "un peu de bagage", on peut aller légèrement plus loin dans les calculs :
Vu la tête de la fonction :(x,t)->... on peut utiliser le théorème des fonctions implicite qui nous dit que, localement, il existe une fonction régulière telle que pour tout .
En dérivant cette relation, on obtient et le minimum pour (i.e. le qui donne la plus petite racine) est tel que donc tel que .
Il faut donc résoudre le système et où les deux équation sont en de la forme donc en faisant une combinaison linéaire des deux, on obtient une équation du premier degré en et on exprimer (relativement) simplement en fonction de . Si on réinjecte ça dans une des deux équations, on tombe sur une (grosse) fonction de et tout logiciel de calcul numérique permet d'approximer avec la précision désirée la solution :

[roni]

Une derniere question
Est ce qu'on peut toujors resoudre le systeme (cad est ce qu'on peut exprimer x en fonction de t dans tous les cas ? Sinon que faire?
Et merci pour votre explication

[roni]

Pouvez vous m'aider svp,

A propos le domaine, on a trouvé les valeurs de x, mais comment, on a connu qu'il est un segment ?
(Il fait que f(x,t)>=0)