Dois-je aussi démontrer les inclusions?

[hec]

bonjour, je me demandais lorsque j'ai : montrer que
f(X) = f(Y) équivaut à f(X-Y) = 0
est-ce que c'est suffisant de montrer l'implication dans un sens

=> f(X) = f(Y)
équivaut à f(X) - f(Y) = 0
équivaut à f(X-Y) = 0 (car f application linéaire d'après mon énoncé)

puis dans l'autre sens <=

ou est-ce que je dois montrer aussi que tout élément de f(X) appartient aussi à f(Y) ? après ça parait bizarre à faire pour f(X-Y) = 0 non ?

et pareil pour (f(X)=0 => X=0) équivaut à f injective, l'implication dans un sens puis dans l'autre suffit-elle ?

merci ! :happy2:

[Zebulon]

Bonjour,
je ne comprends pas très bien le problème :
il n'y a qu'une implication à montrer!!! Sauf si vous avez mal énoncé le problème et qu'il faut en fait montrer que
.
Dans ce cas, on procède soit par équivalences comme vous avez fait

f(X) = f(Y)
équivaut à f(X) - f(Y) = 0
équivaut à f(X-Y) = 0 (car f application linéaire d'après mon énoncé)

soit en montrant les deux implications

et .

[hec]

je ne comprends pas très bien le problème :
il n'y a qu'une implication à montrer!!! Sauf si vous avez mal énoncé le problème et qu'il faut en fait montrer que
.

oups pardon oui j'ai mal énoncé c'était équivaut à ...
merci !

[hec]

oui c'est vrai j'ai un peu de mal à savoir ce qu'il suffit de démontrer... Que me conseillez-vous ? Faire beaucoup d'exercices et étudier les corrigés si je doute ?

[Zebulon]

Il faut juste comprendre qu'une équivalence, c'est une double implication et qu'une égalité de deux ensembles, c'est une double inclusion.
Je m'aperçois seulement maintenant que tout à l'heure, il n'y avait pas le truc de double inclusion puisque f(x) et f(y) étaient des "nombres" et pas des ensembles (en général).
Je corrige tout de suite mon ancien message.