Division euclidienne

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Ben314
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par Ben314 » 20 Jan 2010, 22:40

Pour Near,
L'algo. d'euclide (dans un anneau eclidien, donc en particulier dans K[X]) permet non seulement de déterminer un pgcd d de deux éléments a et b MAIS AUSSI de trouver des éléments u et v tels que au+bv=d.
Regarde sur google avec "algorithme d'euclide", j'ai un peu la flemme d'expliquer l'algo en détail...
Pour ta deuxième question, la réponse est oui, une équation de la forme ax+by=c dans un anneau euclidien a soit 0 soit une infinité de solution :
il est façile de voir que, si xo,yo est une solution, alors xo+kb, yo-ka en est encore une pour tout élément k...

Pour Finrod,... j'ai pas encore regardé le 2), mais, je vais le faire...
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Ben314
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par Ben314 » 20 Jan 2010, 22:47

Pour le 2), il faut effectivement traduire (comme tu l'as fait) les 2 conditions :
P+1 divisible par P( 1)+1=0 et P'(X)=(X-1)^3*?
P-1 divisible par P(-1)-1=0 et P'(X)=(X+1)^3*?

puis en déduire P' puis P par du calcul de primitive (c'est ce que tu suggérait, simplement on n'as pas forcément des constantes et le calcul des primitives risque d'être "lourd")...

J'y réfléchi en allant manger....
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Finrod
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par Finrod » 20 Jan 2010, 22:52

La primitive, j'imaginais qu'on pouvait la calculer que par IPP en dérivant le "?" et en primitivant le . Le tout en travaillant avec un degrés fixe pour les "?".

Mais jamais, même dans un Concours ou je jouerais mon avenir, je ne m'amuserais a essayer de terminer un tel calcul. Mieux vaux passer à la question suivante ou aller faire une promenade.

Near
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par Near » 20 Jan 2010, 23:02

Ben314 a écrit:Pour Near,
L'algo. d'euclide (dans un anneau eclidien, donc en particulier dans K[X]) permet non seulement de déterminer un pgcd d de deux éléments a et b MAIS AUSSI de trouver des éléments u et v tels que au+bv=d.
Regarde sur google avec "algorithme d'euclide", j'ai un peu la flemme d'expliquer l'algo en détail...


je pense que c'est l'algorithme de Bézout,non ??
:cry:

Finrod
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par Finrod » 20 Jan 2010, 23:33

Sur wikipedia c'est bien expliqué l'algo, sinon on en rediscute.

Pour la primitive de j'ai

(la puissance entre parenthèse est le degrès de dérivation).

Donc divise P... comme ça divise aussi P+1 (ou P-& je sais plus) j'arrive à une absurdité... donc P n'existe pas.

Je sais pas pourquoi mais même moi je suis pas convaincu par ce résultat bizarre.

edit : Ah ben oui, j'ai oublié "+cste"

donc c'est bon , pas d'absurdité, juste u calcul qui ne m'avance pas du tout.

Finrod
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par Finrod » 20 Jan 2010, 23:42

J'obtiens

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par Ben314 » 21 Jan 2010, 00:12

Pour la deuxième méthode, en tenant compte du fait que (X-1)^3 et (X+1)^3 sont premier entre eux, l'énoncé équivaut à :
P( 1)=-1 , P(-1)=1 et (X²-1)^3=(X-1)^3(X+1)^3 divise P'(X).

Mais, aprés, je vois pas trop... on peut écrire
(où Q est un poly.) et P(1)=-1.
Si on devait faire le calcul de l'intégrale, il vaudrait mieux dériver (6 fois...) et intégrer (comme est quelconque, sa primitive est... quelconque)
Mais ça me parrait à peine long...
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Near
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par Near » 21 Jan 2010, 00:26

merci beaucoup "Ben314" et "Finrod" .
j'ai des questions stupides,
est-ce juste : Q divise P donc Q' divise P' :id: ?
(j'ai pas étudié l'arithmétique :triste: )

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Ben314
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par Ben314 » 21 Jan 2010, 00:38

Non, c'est faux : dire que Q divise P veut (simplement) dire que P=AQ pour un certain polynôme A.
Quand tu dérive, tu obtient P'=AQ'+A'Q et, pour que P' soit divisible par Q' il faudrait donc que A'Q soit divisible par Q' ce qui, en général n'est pas le cas !
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par Near » 21 Jan 2010, 00:42

j'ai encore des questions à poser :id:
merci beaucoup "Ben314".
à demain. :we:

Near
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par Near » 22 Jan 2010, 01:40

salut encore :we: :we:
toujours je ne vois pas comment cette relation peut répondre à l'exercice. :doh:
(opps :briques: )
merci.

Finrod
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par Finrod » 22 Jan 2010, 01:45

Il faut appliquer l'algorithme d'euclide à et .

Tu le connais ?

Near
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par Near » 22 Jan 2010, 14:34

Finrod a écrit:Il faut appliquer l'algorithme d'euclide à et .

Tu le connais ?


oui je le connais :id: .
et après ? je peux dire quoi ?
merci "Finrod".

Finrod
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par Finrod » 22 Jan 2010, 14:51






Ensuite, à l'envers, mais je prend des notation parce les calculs sont lourds. Les polynomes qui apparaissent sont :







on a 1=S- (25/16)XT or T=R-(2/5)XS puis S=Q-(X/4-1/2)R et R=P-Q

en résolvant ça on trouve U et V.

Near
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par Near » 22 Jan 2010, 16:09

Finrod a écrit:




Ensuite, à l'envers, mais je prend des notation parce les calculs sont lourds. Les polynomes qui apparaissent sont :







on a 1=S- (25/16)XT or T=R-(2/5)XS puis S=Q-(X/4-1/2)R et R=P-Q

en résolvant ça on trouve U et V.


ok,je vais faire ça.
merci beaucoup.
:id:

 

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