Division euclidienne dans Z

[coco7513]

Bonsoir,
Soit a,b dans Z avec b non nul. Alors il existe q,r (SANS UNICITé) dans Z tels que : a=bq+r et |r|<|b|.

Pour la majoration du r j'ai un peu de mal a comprendre.

En effet, on suppose la division euclidienne vraie pour b dans N,
on prend b<0, on fait la division euclidienne de a par -b et on a : a=-bq+r
a=b(-q)+r avec 0 <=r<-b

d'où vient le faite que r peut être négatif dans la démonstration?
Merci d'avance pour votre réponse.

[chan79]

salut
Si on accepte que r soit dans Z, alors il n'y a évidemment pas unicité:
a=12
b=5
12=5*3+(-3)
12=5*2+2

[pascal16]

pour une unicité, on pourrait prendre alors r tel que |r|<b/2 ou r=b/2 (les cas impossibles disparaissent d'eux même). Ce qui correspond dans R à un arrondi du quotient "à l'entier le plus proche". Chose qu'on ne fait quasiment jamais en math. On préfère de loin prendre un reste positif.

[coco7513]

salut
Si on accepte que r soit dans Z, alors il n'y a évidemment pas unicité:
a=12
b=5
12=5*3+(-3)
12=5*2+2

D'accord, le reste peut donc être négatif mais dans la démonstration, le reste est positif. Qu'est ce que je peux prendre comment reste négatif?

[pascal16]

a positif a=bq+r, avec r postif
a négatif, -a est positif donc -a=bq+r ; avec b,qet r des entiers naturels (positifs)
et donc a=-(bq+r) = -bq-r = (-b)q + (-r)
on a bien (-r) négatif

si on veut le transformer en positif quand a est négatif
a=(-b)(q+1) + (b-r)
0<= r < b
-b < -r <= 0
0< b-r <= b
les inégalités ne sont pas tout à fait bonnes
soit r= 0 et a=-br
soit r >0 et a=(-b)(q+1) + (b-r)
on a bien cette fois un reste entre 0 au sens large et b au sens strict