Divisibilité b

[aviateur]

Bonjour
Voici une autre énigme puisque la précédente n'a pas résisté longtemps.
Soit n>1, n entier.
Montrer que ne divise pas

[pascal16]

pour n pair, je peux le faire

[Elias]

Pour n pair c'est évident puisque 2^(n-1)+1 étant impair, il ne peut être divisible par un nombre pair.

Le problème revient donc à montrer que lorsque n est pair, n+1 ne divise pas 2^n+1.

[aviateur]

Oui pour n pair c'est évident. Sinon dans l' autre je pense avoir une démo mais pas très facile.
J'attends donc une solution éventuellement différente et (ou ) + simple.

[nodgim]

Et pour tout n premier > 2, c'est évident également, puisque 2^(p-1) = 1 mod p.

[Elias]

Donc du coup, il faut montrer que si non nul est pair, n'est pas divisible par

Lorsque est une puissance de 2, on peut s'en sortir sauf erreur.
Si n s'écrit , , alors cela revient à montrer que n'est pas divisible par où (notation pour les nombres de Fermat)

Il est classique que les diviseurs premiers positifs de sont de la forme avec entier naturel.

Ainsi, tout diviseur différent de 1 de est superieur ou égal à (plus petit diviseur premier potentiel donc plus petit diviseur potentiel tout court)

Or,est inférieur à

Reste à adpater lorsque n s'écrit avec k impair mais peut être que je suis sur la mauvaise voie.

[Elias]

Dans ce qui précède, je montre quelque chose de plus fort, c'est que lorsque n est une puissance de 2, les diviseurs de 2^n+1 sont plus grand que n+1 forcément.
On peut pas adapter ceci lorsque n n'est pas une puissance de 2 car c'est faux (exemple 2^6+1 possède 5 comme diviseur).

Je crois avoir une preuve sinon.

je rappelle que je montre plutôt (c'est pareil) que si , alors ne peut pas être divisible par.

On sait (grâce à la décomposition en produit de facteurs premiers) que n peut s'écrire sous la forme avec , impair.


Cherchons la forme des diviseurs premiers de .

Soit un tel diviseur . On a alors .
Alors et donc

Ainsi, dans le groupe des inversibles de , l'ordre de est un diviseur de et on a .

On sait alors que s'écrit sous la forme avec et diviseur de .

Si , alors est forcément un diviseur de et à partir de , en élevant à la puissance , on aboutit à , ce qui est faux puisque .

On en déduit alors que et donc .

Comme l'ordre du groupe des inversibles de est, on en déduit par le théorème de Lagrange que divise et donc qu'il existe un entier strictement positif tel que :
d'où avec entier. Ca donne la tête des diviseurs premiers de .

Si maintenant divise , alors doit être un produit de diviseurs premiers de la forme décrite ci-dessus.

On voit facilement que quand on multiplie des , on obtient un nombre de la même forme.

Et on voit facilement qu'on ne peut pas avoir car cela implique et comme k est impair...

[aviateur]

Bonjour @Trident2 il me semble bien (sauf erreur) que ta démonstration est correcte. bravo

[aviateur]

Rebonjour
Voici une seconde démo.
Soit la décomposition en facteur premier de que l'on suppose impair (puisque le cas n est pair est évident)
Soit un nombre premier de cette décomposition tel que soit le plus
petit.
On peut écrire avec impair
On a bien sûr et on peut écrire
Si divise
alors

Alors (par le th de Fermat)
Ce qui implique mais ça c'est pas possible d'où la contradiction.

[nodgim]

2 choses m'échappent dans ta démo, aviateur:
"..tel que v2(pi-1) soit le plus petit " ?
" On a bien sûr n = 1 modulo 2^bi " ? pi = 1 modulo 2^bi, ça oui, mais pourquoi n également ? Tu pourrais avoir un pj = -1 modulo 2^bi, et donc le produit pi*pj = -1 mod 2^bi ?

[aviateur]

bonjour àNogdim j'essaye d'expliquer un peu plus en détail :
n est impair les facteurs premiers de n sont donc impairs, est de la forme et impair, on prend i tq est le plus petit ok?
Ensuite on a donc il en est de même pour toute puissance de
maintenant pour on a avec
ce qui fait que donc il en est de même pour toute puissance de
c'est pour cela qu'on a aussi

[Elias]

Salut @aviateur
Pour moi, c'est ok.
Nos preuves se ressemblent quand on y réfléchit, elles utilisent les mêmes ingrédients (sauf que je cite Lagrange au lieu du petit Fermat).

[nodgim]

OK Aviateur, c'est clair maintenant. L'expression " v2(......)" qui signifie la puissance de 2 de...est elle censée être connue ?

Sinon, c'est étonnamment court comme démo, et plus accessible que celle de Trident2 (ce qui ne lui retire rien).

[Elias]

OK Aviateur, c'est clair maintenant. L'expression " v2(......)" qui signifie la puissance de 2 de...est elle censée être connue ?

Salut nodgim.
La notation existe et le "v" doit vouloir dire "valuation adique"

De façon générale, si n est un entier naturel non nul , pour tout nombre premier p, la valuation p adique de n notée v_p(n) est l'exposant du nombre premier p apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de n (et on pose v_p(n)=0 si p ne divise pas n).

[aviateur]

Bonjour
Oui la notation v est standard et effectivement les démonstrations se ressemblent mais tout de même un peu différentes. J'aime bien aussi la démo de Trident2.

[nodgim]

OK vu.