Montrer qu'il existe une constante C tel que
Distr Heaviside
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distr Heaviside
par Dist » 27 Jan 2022, 20:58
Besoin d'aide
Montrer qu'il existe une constante C tel que
Montrer qu'il existe une constante C tel que
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Re: Fourrier distr
par mathelot » 28 Jan 2022, 21:07
bonsoir,
qui est
? (Heaviside ?)
qui est
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Re: Fourrier distr
par mathelot » 29 Jan 2022, 16:23
préliminaires:
Soit X une indéterminée.
=X)
On pose=\sum_{n \in \mathbb{Z}^*} \, \dfrac{e^{inx}}{n})
S est impaire,
-périodique, définie pour x réel .
En dérivant
=i \sum_{n \in \mathbb{Z}^*} \, e^{inx})
d'où formellement:
=i \left( \dfrac{e^{ix}}{1-e^{ix}} + \dfrac{e^{-ix}}{1-e^{-ix}} \right))
= - \dfrac{-ie^{ix}}{1-e^{ix}} + \dfrac{ie^{-ix}}{1-e^{-ix}})
(*)
Soit X une indéterminée.
On pose
S est impaire,
En dérivant
d'où formellement:
Modifié en dernier par mathelot le 31 Jan 2022, 19:14, modifié 8 fois.
Re: Fourrier distr
par mathelot » 29 Jan 2022, 23:44
Bonsoir,
Primitives et dérivées
Soit log() le logarithme complexe défini sur
privé des réels négatifs (ou nuls)
qui est un ouvert étoilé donc un ouvert simplement connexe:
 \right]'=\dfrac{-ie^{ix}}{1-e^{ix}})
De même, on a:
 \right]'=\dfrac{ie^{-ix}}{1-e^{-ix}})
On primitive (*)
- \, log(1-e^{ix})+C)
(**)
C est une constante complexe.
Primitives et dérivées
Soit log() le logarithme complexe défini sur
qui est un ouvert étoilé donc un ouvert simplement connexe:
De même, on a:
On primitive (*)
C est une constante complexe.
Modifié en dernier par mathelot le 31 Jan 2022, 19:16, modifié 8 fois.
Re: Fourrier distr
par mathelot » 30 Jan 2022, 00:12
expression du logarithme complexe
On a:
=ln(|z|)+i Arg(z))
où |.| est le module de z, Arg() est une détermination de l'argument de z , définie sur un ouvert simplement connexe (par exemple ouvert étoilé) de
écriture trigonométrique du nombre :
pour^2+sin^2 x)
)
)
|)
par conjugaison
|)
pour
 \geq 0)
 - i sin x)
- 2i sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}))
 \left[ sin( \frac{x}{2})- i cos(\frac{x}{2}) \right])
 \left[ cos(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})- i sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}) \right])
 \left[ cos(-\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2})+ i sin(-\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}) \right])
d'où pour
:
 \textrm{ et } arg(1-e^{ix})=-\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2})
par conjugaison, pour:
 \textrm{ et } arg(1-e^{-ix})=\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})
- \, log(1-e^{ix})+C)
(**)
) +i (-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2})- \left( \, ln( 2 sin( \frac{x}{2})) +i (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})\right)+C)
(***)
+i (-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2})+C)
+C)
pour 
On a:
où |.| est le module de z, Arg() est une détermination de l'argument de z , définie sur un ouvert simplement connexe (par exemple ouvert étoilé) de
écriture trigonométrique du nombre :
pour
par conjugaison
pour
d'où pour
par conjugaison, pour
Modifié en dernier par mathelot le 30 Jan 2022, 17:42, modifié 3 fois.
Re: Fourrier distr
par mathelot » 30 Jan 2022, 01:22
écriture trigonométrique du nombre :
pour^2+sin^2 x)
)
par conjugaison
)
pour
 \leq 0)
 \left[ sin(- \frac{x}{2})+ i cos(-\frac{x}{2}) \right])
| \left[ cos(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2})+ i sin(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}) \right])
d'où pour:
 \textrm{ et } arg(1-e^{ix})=\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2})
par conjugaison, pour:
 \textrm{ et } arg(1-e^{-ix})=-\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})
- log(1-e^{ix})+C)
(**)
 +i (-\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})- \left( \, ln( 2 |sin( \frac{x}{2}|) +i (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2})\right)+C')
(***)
+C')
+C')
pour
et (rappel)
pour
où
sont des constantes d'intégration
pour
par conjugaison
pour
d'où pour
par conjugaison, pour
et (rappel)
où
Re: Fourrier distr
par mathelot » 31 Jan 2022, 00:33
Maintenant que l'on a obtenu l'expression de la fonction somme,envisageons la réciproque:
soit f la fonction-périodique définie par:
=-i(\pi+x) \textrm{ si } x \in [-\pi;0[)
=0)
=i(\pi-x) \textrm{ si } x \in ]0;\pi])
f est de classe C1 par morceaux sur
et donc elle est somme de sa série de Fourier,
aux points où elle est continue et la moyenne des limites à gauche et à droite aux points où elle est discontinue.
=\sum_{n \in \mathbb{Z}} \, c_n e^{inx})
avece^{-inx} dx)
On montre que pour
et 
d'où
pour=\sum_{n \in \mathbb{Z}^*} \ \dfrac{e^{inx}}{n})
Pour x=0, on somme de manière symétrique la somme
, on trouve donc comme limite zéro, quand n tend vers l'infini.
soit f la fonction
f est de classe C1 par morceaux sur
aux points où elle est continue et la moyenne des limites à gauche et à droite aux points où elle est discontinue.
avec
On montre que pour
d'où
pour
Pour x=0, on somme de manière symétrique la somme
Modifié en dernier par mathelot le 02 Fév 2022, 00:20, modifié 1 fois.
Re: Fourrier distr
par Dist » 01 Fév 2022, 23:46
mathelot a écrit:bonsoir,
qui est
Fourier ne prend qu'un seul r.
C'est la fonction de Heaviside
Re: distr Heaviside
par Dist » 02 Fév 2022, 00:02
Je vais essayer de suivre ta proposition et je te reviens
Re: distr Heaviside
par mathelot » 02 Fév 2022, 00:17
ça marche. Avec la fonction que j'ai trouvée (disons avec les moyens du bord) , on peut déterminer la constante C telle que la fonction de l'énoncé et ma fonction coïncident sur
. Ma démarche a été la suivante: trouver la fonction f telle que =\sum_{k \in \mathbb{Z}^*} \frac{e^{inx}}{n})
pour tout x de
réponse:
Les moyens du bord: "ce dont on dispose à un moment donné, sans secours extérieur"
réponse:
Les moyens du bord: "ce dont on dispose à un moment donné, sans secours extérieur"
Re: distr Heaviside
par mathelot » 02 Fév 2022, 18:14
re-bonjour,
quand j'ai écrit les posts précédents, je pensais que la formule à démontrer était fausse ou incomplète,
et j'ai essayé de la reconstituer. Depuis, j'ai changé d'avis (la formule à démontrer est vraie) et j'ai regardé un peu le cours sur les séries de Fourier.
Comme autre démonstration , il suffit de montrer que
est la série de Fourier de la fonction périodique f
dont la restriction à l'intervalle
est )
avec
=0)
pour x<0
=\frac{1}{2})
=1)
pour x >0
Calculons les coefficients de Fourier de f:
e^{-inx}dx =\int_{0}^{\pi} e^{-inx}dx)
e^{-inx}dx =\frac{1}{ni} \left[ e^{-inx}\right]_{\pi}^{0})
e^{-inx}dx =\frac{-i}{n} \left( 1-(-1)^n \right))
après calculs:
^n)
d'où les coefficients de la série trigonométrique valent:
^n)+\frac{2\pi}{n} (-1)^n \right))
de plus
d'où
La fonction f étant de classe C1 par morceaux, elle est somme de sa série de Fourier,
et
)
pour 
quand j'ai écrit les posts précédents, je pensais que la formule à démontrer était fausse ou incomplète,
et j'ai essayé de la reconstituer. Depuis, j'ai changé d'avis (la formule à démontrer est vraie) et j'ai regardé un peu le cours sur les séries de Fourier.
Comme autre démonstration , il suffit de montrer que
dont la restriction à l'intervalle
avec
Calculons les coefficients de Fourier de f:
après calculs:
d'où les coefficients de la série trigonométrique valent:
de plus
d'où
La fonction f étant de classe C1 par morceaux, elle est somme de sa série de Fourier,
et
Re: distr Heaviside
par mathelot » 02 Fév 2022, 23:00
cours (série de Fourier): on note 
l'espace vectoriel des fonctions de dans
-périodiques, continues par morceaux, telles que
=\frac{1}{2} (f(x^+)+f(x^-)))
où=\lim_{y \rightarrow x, y>x} f(y))
On a le théorème:
si
est de classe 
par morceaux ,alors la série de Fourier de f converge simplement vers f.
où
On a le théorème:
si
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