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Dist
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distr Heaviside

par Dist » 27 Jan 2022, 20:58

Besoin d'aide

Montrer qu'il existe une constante C tel que Image
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Re: Fourrier distr

par mathelot » 28 Jan 2022, 21:07

bonsoir,
qui est ? (Heaviside ?)
Modifié en dernier par mathelot le 02 Fév 2022, 00:50, modifié 2 fois.

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Re: Fourrier distr

par mathelot » 29 Jan 2022, 16:23

préliminaires:

Soit X une indéterminée.






On pose

S est impaire,-périodique, définie pour x réel .

En dérivant


d'où formellement:


(*)
Modifié en dernier par mathelot le 31 Jan 2022, 19:14, modifié 8 fois.

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Re: Fourrier distr

par mathelot » 29 Jan 2022, 23:44

Bonsoir,

Primitives et dérivées
Soit log() le logarithme complexe défini sur privé des réels négatifs (ou nuls)
qui est un ouvert étoilé donc un ouvert simplement connexe:


De même, on a:


On primitive (*)
(**)

C est une constante complexe.
Modifié en dernier par mathelot le 31 Jan 2022, 19:16, modifié 8 fois.

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Re: Fourrier distr

par mathelot » 30 Jan 2022, 00:12

expression du logarithme complexe

On a:


où |.| est le module de z, Arg() est une détermination de l'argument de z , définie sur un ouvert simplement connexe (par exemple ouvert étoilé) de

écriture trigonométrique du nombre :

pour





par conjugaison


pour







d'où pour :


par conjugaison, pour :


(**)
(***)



pour
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Re: Fourrier distr

par mathelot » 30 Jan 2022, 01:22

écriture trigonométrique du nombre :

pour





par conjugaison


pour






d'où pour :


par conjugaison, pour :


(**)
(***)



pour
et (rappel)
pour

sont des constantes d'intégration

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Re: Fourrier distr

par mathelot » 31 Jan 2022, 00:33

Maintenant que l'on a obtenu l'expression de la fonction somme,envisageons la réciproque:

soit f la fonction -périodique définie par:






f est de classe C1 par morceaux sur et donc elle est somme de sa série de Fourier,
aux points où elle est continue et la moyenne des limites à gauche et à droite aux points où elle est discontinue.



avec

On montre que pour et

d'où
pour

Pour x=0, on somme de manière symétrique la somme , on trouve donc comme limite zéro, quand n tend vers l'infini.
Modifié en dernier par mathelot le 02 Fév 2022, 00:20, modifié 1 fois.

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Re: Fourrier distr

par Dist » 01 Fév 2022, 23:46

mathelot a écrit:bonsoir,
qui est ? (Heaviside ?)

Fourier ne prend qu'un seul r.



C'est la fonction de Heaviside

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Re: distr Heaviside

par Dist » 02 Fév 2022, 00:02

Je vais essayer de suivre ta proposition et je te reviens

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Re: distr Heaviside

par mathelot » 02 Fév 2022, 00:17

ça marche. Avec la fonction que j'ai trouvée (disons avec les moyens du bord) , on peut déterminer la constante C telle que la fonction de l'énoncé et ma fonction coïncident sur. Ma démarche a été la suivante: trouver la fonction f telle que pour tout x de

réponse:

Les moyens du bord: "ce dont on dispose à un moment donné, sans secours extérieur"

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Re: distr Heaviside

par mathelot » 02 Fév 2022, 18:14

re-bonjour,
quand j'ai écrit les posts précédents, je pensais que la formule à démontrer était fausse ou incomplète,
et j'ai essayé de la reconstituer. Depuis, j'ai changé d'avis (la formule à démontrer est vraie) et j'ai regardé un peu le cours sur les séries de Fourier.
Comme autre démonstration , il suffit de montrer que
est la série de Fourier de la fonction périodique f
dont la restriction à l'intervalle est
avec
pour x<0

pour x >0

Calculons les coefficients de Fourier de f:





après calculs:



d'où les coefficients de la série trigonométrique valent:



de plus


d'où
La fonction f étant de classe C1 par morceaux, elle est somme de sa série de Fourier,
et
pour

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Re: distr Heaviside

par mathelot » 02 Fév 2022, 23:00

cours (série de Fourier): on note l'espace vectoriel des fonctions de dans
-périodiques, continues par morceaux, telles que




On a le théorème:
si est de classe par morceaux ,alors la série de Fourier de f converge simplement vers f.

 

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