DISTANCES TOPOLOGIQUEMENT EQUIVALENTES

[CRESPIL]

Bonjour,
Soit (X, d) un espace topologique. U un ouvert strict de X.
On définit sur U une distance a(x,y) = d(x,y) +|1/(d(x,CU))-1/(d(y,CU))|
CU désignant le complémentaire de U.
Je veux prouver que d et a sont topologiquement équivalentes.
Merci

[tournesol]

As tu déja montré que a est une distance ?

[tournesol]

C'est trouvé . Je vais donner une inégalité locale qu'il est possible d'utiliser pour répondre à la question.

[tournesol]

Soit A une partie non vide de X .
Alors l'application définie sur X par d(x,A) est 1-lipschitzienne.
Soient x et y dans X et z dans A .
On a :
est donc un minorant de d(y,z) pour z décrivant A .
Donc
Donc , (1)
En permutant x et y , on obtient (2)
(1) et (2) donnent
Je vais montrer que pour tout x dans U, il existe R tel que pour tout y dans

U est ouvert , donc il existe R' tel que
Soir R=R'/2 .
A montrer:

Il ne reste plus qu'à montrer que
Fin pour moi .

[CRESPIL]

Bonjour,

Merci d'avoir cherché mais entre temps j'ai réussi à répondre à ma question.

Bonne journée

[tournesol]

Bonjour
Ta solution ressemble t elle à la mienne ou tu as un argument plus direct ?

[CRESPIL]

Ne connaissant pas le latex, cela me sera trop difficile de m'y mettre pour t'écrire la solution que je suis prêt à t'envoyer sur ton adresse e-mail.


Cordialement