Distances topologiquement equivalentes!!

[sannou777]

voici mon exercice que j'arive pas a resoudre:
alors , on munit Z de la distance usuelle sur R a savoir d(x,y)=|x-y|, montrez que d est topologiquement equivalente a d0 la distance discrete .
la d0(x,y)=0 si x=y, et =1 si x<>y,
le probleme que j'ai rencontré c'est que ,pour r<1, on peut definir les deux boules ouvertes pour un point x quelquonque de Z, et pour les deux distances elle sont restreintes a {x}, mais pour r>=1, on a la boule ouverte de rayon r et de centre x pour d0 est egale a Z entier mais je pense que pour d elle depend de r!!!!
quelqu'un pourrait m'aider ! merci d'avance

[Gato]

Tu peux montrer qu'elles définissent les mêmes ouverts : une partie de Z est ouverte pour la première topologie si et seulement si elle l'est pour l'autre.

[tize]

Bonsoir,
il suffit de montrer qu'une boule ouverte pour l'une des deux distances peut s'écrire comme réunion de boules ouvertes pour l'autre distance et vice versa...

[Yipee]

Le plus simple est de remarquer que tous les points sont ouverts car . La topologie pour l'une ou l'autre des distances et alors

[sannou777]

merci a tous :we: !
au fait je savais qu'il fallait montrer que n'importe quel ouvert (voisinage )de z pour la premiere distance est lui meme pour la deuxieme! mais comment!!!
j'ai trouvé la reponse:
comme on est dans Z donc on travaille avec les metriques et donc les boules, pour r<1 c'est donc evident, pour r>=1, B(x,r) munie de do est = IZ, et la boule B(x,r) munie de d est = [x,x+r[ inter IZ, ce qui est inclus dans IZ. comme un voisinage V au point a est definie par l'existence d'un rayon c tq la boule B(x,c) incluse dans V, on a bien alors B(x,r) munie de d incluse dans IZ. d'ou IZ est le meme voisinage pour les deux distances !!
c'est logique ou je me gourre!!