Distance spherique entre points

[m3d_houston]

Bonjour a tous.

Apres quelques annees passees loin de ce forum (ou je me souviens avoir aide et avoir ete aide pas mal de fois durant mes annees prepas), je reviens vers vous... C'est fou a quelle vitesse on peut perdre les maths quand on ne pratique pas...

Mon probleme:
Je suis dans un disque, de centre O, et je dispose de deux points, P0 et P1, dont les rayons respectifs sont R0 et R1, tels que l'angle P0-O-P1 soit de valeur A (entre 0 et 2PI)
Je desire calculer D, la "distance circulaire" (je ne suis pas sur du terme mais vais tenter d'expliquer par la suite) entre P0 et P1.
Je veux donc calculer D = f(R0,R1,A) qui repondrait a:

1. si les deux points sont situes sur le meme rayon (A=0), D(R0,R1,0) = R1-R0
2. si les deux points sont sur un meme cercle (R0=R1), D(R0,R0,A)= A*R0
3. la trajectoire de la courbe est forcement plus grande que suivant le petit cercle, mais plus petite que petit cercle + deplacement le long du rayon: D(R0,R0,A)R0, et que A n'est pas oriente. C'est faux mais ca simplifie peut-etre les equations)
   (je ne suis peut-etre pas assez clair a cet instant pour certains (beaucoup?) et m'en excuse. Vous trouverez votre appetit rassasie par la suite je l'espere)
   
   
   Mon debut de travail:
   Comme j'ai encore quelques restes de mecanique (fin de prepa ou debut d'ecole ?), j'ai essaye de discretise:
   
   
   1. da est l'increment d'angle
   2. R est le rayon
   3. dR est l'increment de rayon
   4. dD (inconnue) est l'increment de distance

Mon objectif etait d'avoir dD en fonction de da et dR, puis, sachant que
dR = (R1-R0) * da / A
de pouvoir integrer dD entre a = 0 et a = A

En utilisant les donnees intermediaires r0,r1 et h, en bleu, puis en utilisant de la bete geometrie de secondaire (Pythagore+trigo), j'arrive a:
(dD)^2 = H^2 + r1^2
(dD)^2 = R^2 (sin(da))^2 + (R+dR)^2 - 2(R+dR)r0 + r0^2
(dD)^2 = R^2 (sin(da))^2 + (R+dR)^2 - 2(R+dR)(R cos(da)) + R^2 (cos(da))^2
(dD)^2 = R^2 + (R+dR)^2 - 2R (R+dR) (cos(da))
(dD)^2 = (dR)^2 - 2R (R+dR) (cos(da)-1)


Mon etat actuel
Ca fait deux heures que je factorise, refactorise, exprime dR en fonction de da, da en fonction de dR, et... rien :triste: (j'ai meme pas essaye d'integre, peuchere!)
Tout avis est bon a prendre (y compris les "tu t'y prends comme un pied des le debut" ou "Theoreme de XXX, cette distance est egale a ...")

Merci d'avance,
Bonne soiree.

[Ben314]

Salut,
Là où ça me semble pas super clair, c'est que tes 3 points du début laissent de la "marge de maneuvre" pour ta distance (i.e. il n'existe pas une unique distance vérifiant ces 3 points là).
Aprés les avoir lu, je me suis demandé : "pourquoi ne prend il pas, par exemple, comme distance
d=racine[(A*R0)²+(R1-R0)²] ?"

Ensuite, dans ta "discrétisation", ce qu n'est pas super clair, c'est à quoi correspond ton "dr", c'est à dire comment choisi tu (il me semble que c'est bien un choix que tu doit faire) de faire varier r de R0 à R1 ?
Je pense que, si tu le fait varier de facon linéaire (ou plutôt affine), il te suffit de mesurer la longueur du morceau de spirale que décrit la courbe d'équation polaire r=a.angle+b où a et b sont tels que r varie de R0 à R1 (en espérant que l'intégrale que tu obtient se calcule)

[m3d_houston]

Salut, et merci de prendre le temps de me repondre.

En effet, je ne suis pas tres clair, mais tu m'aides a formaliser.

J'aurais du mettre une telle image des le debut:

Je cherche, dans ce cas, a calculer la distance P0-P1 suivant la courbe rouge, qui correspond en effet (merci d'avoir reussi a formaliser ce que je n'avais pas reussi a faire) a une section de courbe polaire d'equation r = a*angle + b
en effet, avec b=R0 et a=(R1-R0)/A, on a bien:
R0=a*0+b
R1=a*A+b.

d0=racine[(A*R0)²+(R1-R0)²] ou d1=racine[(A*R1)²+(R1-R0)²], ce qui va correspondre a une pythagorisation des trajets P0-Q1-P1 ou P0-Q0-P1 permettent d'encadrer la valeur de D que l'on veut effectivement trouver (d0<=d<=d1). EDIT: en fait non, on a d<=d0<=d1.

Concernant le premier schema, da et dR etant lies par l'equation polaire, on peut faire varier l'un ou l'autre ca n'a pas vraiment d'importance. Par contre je cherchais a substituer dR par dA pour avoir une fonction dD = f(da), mais tu viens de me faire penser a faire l'inverse, ce qui peut se faire en tuant le cos via un DL:

(dD)^2 = (dR)^2-2R(R+dR)(cos(da)-1)
(dD)^2 = (dR)^2-2R(R+dR)(1-0.5*(da)^2-1)
(dD)^2 = (dR)^2+R(R+dR)(da)^2
(dD)^2 = (dR)^2+R(R+dR)(AdR/(R1-R0))^2
(dD/dR)^2 = 1 + R (R+dR) (A/(R1-R0))^2
en posant K = (A/(R1-R0))^2
(dD/dR)^2 = 1 + R (R+dR) K
dD = Racine[1 + R (R+dR) K] dR

Il commence a se faire tard ici donc je reviendrais tenter de l'integrer demain.