Distance produit et norme

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Bonjour,

Ma question est la suivante :
Soient , ..., n espaces métriques et
N une norme sur .
On note
et on définit par

Est-ce que est une distance ?


J'ai quelques exemples : les normes classiques sur :


, avec .


Et je pose, pour et
où N est une des normes pré-citées.

On a alors plein de jolies propriétés :
- toutes ces distances sont équivalentes
- toutes ces distances induisent la topologie produit
- pour chacune de ces distances,
- pour chacune de ces distances,


Est-ce que ça se généralise ?

[chombier]

Ca n'a pas l'air si simple comme question ! Personne n'a une idée, une piste, un commentaire ?

J'ai essayé de montrer que est une distance mais je bloque sur l'inégalité triangulaire.

J'en fini par me demander si est toujours une distance, mais je n'ai pas l'once d'une piste pour trouver un contre-exemple.

Et si j'ai écrit un truc faux dans mon premier message, dîtes le moi !!!

[chombier]

Bonjour,

Ma question est la suivante :
Soient , ..., n espaces métriques et
N une norme sur .
On note
et on définit par

Est-ce que est une distance ?

J'ai en partie ma réponse.

Pour que soit une distance, il est suffisant que N soit croissante en chacune de ses variables.

J'ai aussi un contre-exemple, où N n'est pas croissante en chacune de ses variables et n'est pas une distance (elle ne vérifie pas l'inégalité triangulaire).

Bonne journée