Distance moyenne sur n-cube

[chatcalot]

Salut, depuis quelque temps j'essaye de calculer le comportement à l'infini de : (et j'ai enfin réussi, ... en partie..)


(représente la distance à l'origine moyenne que l'on obtient en tirant un point au hasard dans un hypercube de côté 1 et de dimension n)

Avec un petit code python j'ai pu voir que ça semblait tendre vers :
(j'ai naturellement penser à la constante d'euler au début, ça sonnait bien dans ma tête)

Code: Tout sélectionner

while bcl <= K :
   
   b = 0
   for i in range(n):
      x = random.random()
      b += x**2

   I += np.sqrt(b)
   bcl+=1
I /= K
print(I)

J'ai remarqué que si j'étudie
alors dans le code python, devient
et donc d'après le code python on aurait (ce qui semble vrai pour n grand)

Et vu que ,


Mais voilà c'est pas très clair, et passer par du python pour montrer que c'est bof,
donc je me demandais si quelqu'un saurait montrer plus proprement ce dernier résultat

[aviateur]

Bonjour
voici mes remarques et questions.
1. Je n'ai rien compris avec ton histoire de
2. J'aurai dit que représente la distance moyenne à un sommet du cube (et non du centre)
3. Le calcul explicite de me semble difficile voire impossible (sauf pour n=2,3)
4. Effectivement, numériquement on voit que avec

Ma question. D'où vient cette idée de rechercher cela? Est-ce que le problème existe quelque part?

Il serait très intéressant de répondre à cette conjecture:

[zygomatique]

salut

on peut déjà remarquer que

[chatcalot]

Salut,
2. J'avais bien écrit distance moyenne au centre mais j'ai changer ça vers 2h du matin (je pensais bien évidement au centre du système de coordonné mais c'étais très ambiguë), je comprend pas trop comment t'as pu le voir

Genèse : je faisais du python, en particulier sur la distance moyenne dans un carré, et un peu par hasard en modifiant le code je suis tombé sur la valeur 0.577. ça m'a beaucoup intrigué et j'ai essayé de résoudre cette intégrale.
J'ai essayé pas mal d'astuce mais sans grand succès, notamment le passage en coordonnée hypersphérique mais on se retrouve avec une fonction Max(..) qui n'arrange pas le travail d'intégration, ça m'a juste permis d'obtenir la majoration (un peu décevant sur le moment vu que comme l'a montré zygomatique on trouve très facilement)

1. & 4. à surtout l'avantage d'être facile à calculer, mais aussi que pour le calculer avec python il faut juste faire disparaître une racine carré (du code de ),
or si on suppose que tous les résultats intermédiaire (b) sont à peu près équivalent alors ça ne devrait pas changer que l'on fasse la racine carré avant ou après.
Exemple de résultat : (100000 boucle, n =1000)
soit
soit

[Ben314]

Salut,
Au niveau "calcul direct", j'arrive effectivement pas à grand chose (j'ai essayé comme toi de passer en polaires généralisées, mais ça donne rien de bien immédiat).
Par contre il y a un truc qui me semble (un peu) surprenant : si comme tu le dit In est équivalent (*) à racine(Jn) lorsque n tend vers l'infini, ça signifie que l'intégrale de racine de truc est à peu prés égal à la racine de l'intégrale de truc or, vu la convexité de la fonction racine, cela ne se peut que si truc est "quasi constant".
Sauf erreur, vu ton contexte, ça signifierais que l'écart type du truc que tu étudié (i.e. la distance au bord du cube) devient de plus en plus petit lorsque n->oo.
Ca me semble un peu surprenant (mais pas impossible) et je me demande si ça, il n'y aurait pas moyen de le prouver proprement (montrer qu'un truc tend vers 0, ça semble plus facile...).
Au niveau purement calculatoire, si tu regarde les sommets de ton hypercube, leur distance à l'origine, c'est racine(1), racine(2),...,racine(n) et je me demande si on arrive à estimer quel est le volume des points du cube dont la distance à l'origine est comprise entre racine(k) et racine(k+1) [ce qui permettrait d'estimer ton intégrale]

(*) Et pas égal comme tu l'a écrit, mais avec le "pour n grand" dans la parenthèse que tu as écrit derrière, on comprend le bidule.

[aviateur]

Bonjour
J'ai démontré avec des calculs un peu ardus et moyennant quelques justifications à faire
que
Or ce qui est cohérent avec les calculs numériques.

Je ne donne pas l'idée de la démo et des calculs pour l'instant, je le laisse en énigme.

Ps: je me rends compte que je n'ai pas fait attention au message de @chacalot en entier qui dit justement que . Donc j'ai la justification

[Doraki]

Si Xi est une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi uniformes sur [0;1] et si Yi = Xi²

alors l'espérance de Yi est 1/3, et donc le théorème centrale-limite dit que (somme de 1 à n des (Yi - 1/3))/sqrt(n) converge vers une loi normale de moyenne 0 et d'un certain écart type.

Donc que quand on regarde la distribution de la somme des Yi, ben tout se concentre rapidement autour de n/3 avec un écart-type en O(sqrt(n)) ((Yi - n/3)/sqrtn converge vers une gaussienne de moyenne 0)

Donc si Zn = sqrt(Yn), comme la dérivée de sqrt sur un intervalle de taille O(sqrt n) autour de n/3 ne varie pas beaucoup le long de l'intervalle (c'est équivalent à 1/2sqrt(n/3)),
ben ça devrait suffire à montrer que la loi de Zn est rapidement concentrée autour de sqrt(n/3) avec un écart-type en O(1)
(Zn - sqrt(n/3) devrait converger vers une distribution normale centrée en 0)
(ce passage correspondrait à une preuve de In = sqrt(Jn))

Et donc l'espérance de Zn devrait en effet converger vers sqrt(n/3)

[aviateur]

Bonjour
@Doraki, je n'ai pas tout à fait compris ce que tu as dit. Par contre pour démontrer que j'ai effectivement utilisé le théorème central limite.