Distance intraseque

[Aispor]

Bonjour, j'ai deux questions de géométrie.

1. Est-ce qu'une surface globalement définie comme les zéros d'une submersion est une sous variété ?

2. Pourquoi la distance intraseque est préservée par isometrie ?

Merci d'avance

[Aispor]

1. Je me pose cette question car le support d'une courbe globalement définie comme le support d'une immersion n'est pas forcément une sous variété de dimension 1.

2. Pour cette question, en cours on a fait la démonstration suivante :

Soit A une surface régulière de l'espace.
Soit une courbe contenue dans A.

Avec une isometrie

Pour dans
(Longueur de entre a et b)
=
=

Ou I est ici la première forme fondamentale.

Donc la première forme fondamentale I de A déterminé la distance sur A.

De meme pour S.

On conclut avec la définition d'une isometrie.

[Aispor]

Je ne comprend pas cette démonstration.
Par exemple pourquoi peut on évaluer la première forme fondamentale en alpha'(t) alors que ce n'est pas forcément un vecteur du plan tangent à A en alpha(t)

[GaBuZoMeu]

intrinsèque, pas intrasèque.
Si est la paramétrisation d'une courbe sur la sous-variété , alors est dans l'espace tangent à en . C'est même une façon de définir l'espace tangent, comme l'espace des vecteurs tangents aux courbes tracées sur la sous-variété.