[MPSI] Disposition de racines

[Anonyme]

Bonjour,

On peut écrire grâce à la formule de Moivre :
cos(nx) = P_n(cos x), P_n polynôme de degré n à coeff entiers.
Dans les questions précédentes il est établi que :
P_(n+1)(X) = 2X.P_n(X) - P_(n-1)(X).
Si n est pair alors P_n est pair.
Si n est impair alors P_n est impair.
P_n(1)=1, P_n(-1)=(-1)^n.

La question est :
-de trouver les zéros de P_n,
-de montrer qu'ils sont dans ]-1;1[
-de préciser la disposition des zéros de P_(n-1) par rapport
à ceux de P_n quand n>1.


- Je cherche les zéros dans ]-1;1[ en posant x=arccos(y),
j'ai alors P_n(y)=0 ssi P_n(cos x)=cos(nx)=0
ssi x_k=Pi/(2n)+(kPi)/n
avec ça on trouve alors n racines distinctes de P_n de la forme
cos(x_k) avec k dans {0,1,...,n-1} (à cause de l'injectivité de cos sur
[0,Pi]), donc pas besoin d'aller chercher ailleurs que dans ]-1;1[ car
deg P_n = n donc P_n a au plus n racines réelles.


Je bloque sur la question de la disposition des zéros, je ne vois pas
bien ce qu'il y a a dire.
De comparer quoi, puisque P_n a un zéro de plus que P_(n-1) ?

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel a écrit
> Je bloque sur la question de la disposition des zéros,
> je ne vois pas bien ce qu'il y a a dire.
> De comparer quoi, puisque P_n a un zéro de plus que
> P_(n-1) ?

Peut-être que les racines de P_n sont entrelacées avec
les racines de P_(n-1) ? C'est à dire :

a_1 < b_1 < a_2 < b_2 ... a_(n-1) < b_(n-1) < a_n

où les a_i sont les racines de P_n et les b_j celles de
P_(n-1).

Ce n'est qu'une suggestion, je n'ai pas vérifié...


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr