Discrétisation de l'équation des ondes

[zaidoun]

Bonjour,
On considère l'équation des ondes sur l'intervalle (0,1) , avec conditions aux bords de type de Dirichlet ( u(0,t)= u(1,t) =0) et avec conditions initiales (u(x,0)= u_0, u_t (x, 0) = u_1 (u_t: dérivée partielle par rapport au temps)). J'ai fait une semi discrétisation en espace en utilisant la méthode différences finies.

J'ai une telle inégalité vérifiée dans le cas continue comportant: || u_0 ||_{L^2 (0,1)}^2 et || u_1 ||_{H^{-1} (0,1)}^2, et je vais vérifier si la version

discrète de cette inégalité est encore vraie ou non, mais je suis bloqué au niveau de discrétisation de || u_1 ||_{H^{-1}}^2.

Une discrétisation possible de || u_0 ||_{L^2 (0,1)}^2 est: h \sum_{k=0}^{N} |u_0^k|^2 ( avec u_0^k est une discrétisation de u_0 et h :pas de discrétisation).

Qui peut me donner une discrétisation de || u_1 ||_{H^{-1}}^2.??

Merci d'avance.