Dirac et distributions

[egan]

Salut tout le monde,

Je sais comment montrer que le Dirac n'est pas une fonction L^2 mais je ne vois pas comment montrer que ce n'est pas une fonction L^1. La preuve ne se réadapte pas.

Est-ce que vous auriez une idée ?

Merci d'avance.

@+ Boris.

[girdav]

Bonjour,

On peut en fait montrer que la masse de Dirac ne peut être représentée par aucune fonction localement intégrable. Pour le voir, on peut considérer une suite de fonctions test dont le support est contenu dans la boule de centre 0 et de rayon 2/n, et 1 dans la boule de centre 0 et de rayon 1/n.

[egan]

Merci pour ta réponse. C'est très élégant je trouve comme preuve.

Si je ne me trompe pas, ça montre au passage que le dirac n'est pas une fonction L^p avec p plus grand que 1 puisque toute fonction L^p est L^1_loc.

[Sylviel]

Effectivement.

Ce type de preuve est très courant quand on manipule des diracs, ou plus généralement quand l'on manipule des mesures qui ne sont pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Alternativement tu pourras utiliser des fonctions tests de masse unité et de support tendant vers 0.