Dimensions et sous-espaces supplémentaires

[zaidoun]

Ici puisque l'intersection vaut le vecteur nul, il reste à vérifier que dim (espace ambiant) =dim (R^4)=4, vaut la somme de dim(ker f) et dim(H) et puisque dim(ker f)=1, il faut donc montrer que dim(H)=3.
C'est ok?

[zaidoun]

Je viens de faire plusieurs exercices concernant les sous-espaces supplémentaires, et j'ai vu qu'au lieu d'utiliser la double caractérisation :

1)-"intersection limitée au vecteur nul"
2) -"vérifier que la somme des 2 espaces en somme directe vaut l'espace ambiant"

on pouvait parfois, pour la seconde proposition, se limiter à vérifier les dimensions.

voici la réponse.
.

[zaidoun]

Ah d'accord.
Soit G l'espace ambiant.
On a dim(E+F)= dim(E) + dim(F)= dim(G) (d'après la formule de Grassmann et puisqu’on a l'intersection de E et F vaut le vecteur nul), or E+ F est inclus dans G donc forcement E+F=G.
D'où le résultat.

C'est clair?

[zaidoun]

C'est ça, juste une petite remarque: E+F est un sev de G, donc E+F est automatiquement inclus dans G (par définition du sev). :zen: