Dimension d'un sous espace propre

[sarahbenb]

Bonjour,

J'ai une question concernant la dimension d'un sous espace propre. Pour montrer qu'un endo est non diagonalisable, je pensais étudier la dimension des sep pour montrer qu'ils n'étaient pas en somme direct.
J'ai vu qu'on pouvait utiliser la formule suivante :
dim(E (A/ L) ) = dim(E)-rg(A-L(Id ))
[ en notant E (A/L) le sous espace propre de la matrice A pour la valeur propre L, et E l'espace vectoriel correspondant à l'exercice]
Je me demandais si cette formule était toujours vraie et si oui comment pouvons nous la démontrer ?

Merci beaucoup !

[sarahbenb]

Finalement j'ai trouvé la réponse à ma question, je l'écris pour ici, si comme moi des personnes ont un doute.

Par définition E(A/L) = ker(A-L(Id))
Or dim(ker(A-L(Id))) = dim (E)- dim(Im(A-L(Id))) d'après le théorème du rang
On a donc bien dim(E(A/L) = dim(ker(A-L(Id))) = dim (E)-rg (A-L(Id))