Dimension finie et isomorphisme

[Arry]

Bonjour,
voici deux théorèmes du cours

Théorème 1 : Soit E et F deux espaces de dimensions finies. il existe un isomorphisme de E vers F ssi dim E =dim F

Théorème 2 : Soit E et F deux espaces de dimensions finies tels que dim E =dim F et f appartient à L(E,F) alors f isomorphisme ssi f injective ssi f surjective

Dans le théorème 2, je ne comprends pas pourquoi f doit être injective pour que f soit un isomorphisme (sens droite gauche) car d'après le théorème 1 f est un isomorphisme directement ...

Merci d'avance pour votre aide

[Doraki]

"Il existe un isomorphisme de E dans F" ne veut pas dire "Toutes les applications linéaires de E dans F sont des isomorphismes"