Dimension des ensembles

[protozik10012]

Bonjour,je voudrais savoir s'il vous plais à quoi égal dim(Sn(K)) et dim(An(K))
+
une démonstration concrète.

Autrement dit l'ensemble des matrices symétriques et antisymétrique.


Merci bcp

[LB2]

Bonjour,

connais tu une base du sev Sn(K) et une base du sev An(K)?
Prends par exemple n=2, n=3 pour fixer les idées.

[protozik10012]

Bonjour,

connais tu une base du sev Sn(K) et une base du sev An(K)?
Prends par exemple n=2, n=3 pour fixer les idées.

Oui pour Sn(K) , B=(Eii)U(Eij+Eji) (union disjointe)

pour An(K), je pense B'=(Eij-Eji)

Mais je trouve un probleme comment trouver que le card(B)=n(n+1)/2 et card(B')=n(n-1)/2.

[LB2]

Il suffit de dénombrer le cardinal de B et de B' pour avoir les dimensions respectives...

[protozik10012]

Effectivement,mais le problème est que je n'arrive pas à le dénombrer correctement

Merci pour votre aide.

[LB2]

Il y a combien de Eii? Il y a combien de Eij+Eji ?
Il y a combien de Eij-Eji ?

[protozik10012]

Il y'en a n Eii qui constitue la diagonale et la somme de 1 à n de k des Eij et de meme pour les Eji.

C'est ça???

[LB2]

Non pas tout à fait.
Tu connais la somme des entiers de 1 à n depuis le lycée normalement.
Vérifie pour n=2, n=3 et généralise le résultat

[Ben314]

Salut,

Tu connais la somme des entiers de 1 à n depuis le lycée normalement.

Sans parler du fait que la vision du truc en temps que nombre de cases d'un carré permet justement de retrouver le résultat de façon triviale : si on note le nombre de cases strictement au dessus de la diagonale dans un carré , alors il y en a autant strictement en dessous de la diagonale et comme il y en a sur la diagonale, c'est que nombre total de cases du carré

[Pseuda]

Il y'en a n Eii qui constitue la diagonale et la somme de 1 à n de k des Eij et de meme pour les Eji.

C'est ça???

Bonjour,

Ok pour les Eii. Pour les Eij+Eji, il y en a autant que de Eij (puisque les Eji se déduisent des Eij). Cela fait : 1+2+...+(n-1) = somme des termes d'une suite arithmétique de 1er terme =1, dernier terme =(n-1), nombre de termes =(n-1), cela fait n(n-1)/2.
Au total : n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.

D'ailleurs, le nombre de matrices Eii U (Eij+Eji), il y en a bien : 1+2+...+n = n(n+1)/2.

[protozik10012]

Merci beaucoup

j'ai bien compris !!!!