Dim de GLn(K)

[elvis77]

Bonsoir,

L'ordre du groupe linéaire où ou est-t-il infini ? Je sais qu'il est engendré par les transvections et les dilatations d'où mon doute.
Merci pour vos réponses.
Cordialement.

[Ben314]

Salut,
Si par "ordre" tu entend ce que l'on entend habituellement, c'est à dire le nombre d'éléments du groupe, alors il est totalement évident que (avec ) est infini lorsque l'est vu qu'il contient au moins les automorphismes de la forme avec (qui sont bien évidement 2 à 2 distincts)
De plus,
1) Des transvections (et des dilatations), ben il y en a aussi une infinité de différentes.
2) De chercher/connaitre des générateurs d'un groupe sans plus d'info. (i.e. sans savoirs quels sont les ordre des générateurs), c'est pas forcément le plus malin pour déterminer l'ordre d'un groupe : Z et Z/nZ sont tout les deux engendrés (en temps que groupe additif) par un unique élément or le premier est d'ordre infini et le second d'ordre fini (qui est un entier quelconque) . . .

[elvis77]

Merci beaucoup pour votre réponse, de quoi bien commencer l'année. Cordialement.

[GaBuZoMeu]

Bonjour et bonne année,
Ton titre est "dimension de ", et tu précises que ou .
Si l'on en reste là, la dimension en tant que variété (réelle ou complexe suivant le cas) est , puisque c'est un ouvert non vide de l'espace vectoriel de dimension .

[elvis77]

En tant que variété certainement (je ne suis pas expert en variété).

Autre question : Si , peut-on affirmer que ?

Cordialement.

[Ben314]

Oui : tu as éléments à choisir au pif (vu que tu cherche des matrices quelconques) avec possibilités pour chaque élément. Et comme le cardinal d'un produit c'est le produit des cardinaux, tu conclue.
C'est évidement un peu moins facile si on met des contraintes, mais, par exemple, le cardinal de se calcule bien.

[elvis77]

Merci pour la confirmation.
Oui je connais ce résultat : .