Je bloque sur l'exo suivant
Soit
On considère une fonction
Montrer que
Voiçi comment je procède :
On pose :
En effet :
Par ailleurs :
Après, on fait quoi ?
Il faut pouvoir majorer les deux espressions suivantes :
Merci pour votre aide :happy3:
Differentielle d'une application
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Differentielle d'une application
par barbu23 » 12 Oct 2010, 17:33
Bonjour;
Je bloque sur l'exo suivant
Soit
un intervalle compact de 
et 
l'espace des fonctions 
de classe 
, muni de la norme :
| + \max_{x \in I} |f'(x)| $)
On considère une fonction
de classe et on pose pour tout 
 = \int_{a}^{b} \varphi (x,f(x),f'(x)).dx $)
.
Montrer que
est différentiable et calculer sa différentielle.
Voiçi comment je procède :
+h(x) , f'(x)+h'(x) ) = \varphi ( x, f(x) , f'(x) )+ \int_{0}^{1} \Big( \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f(x),f'(x)) h(x)+ \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x),f'(x)) h'(x) \Big) dx $)
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f'(x),f'(x))\Bigr) h(x) $)
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x),f'(x)) \Bigr) h'(x) \Bigr]\, dt . <br />$)
On pose :
 = \int_{0}^{1} \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f(x),f'(x)) h(x)+ \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x),f'(x)) h'(x) dx $)
est linéaire en 
( évident ) , et continue :
En effet :
 | \leq \int_{0}^{1} | \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f(x),f'(x)) h(x) | + \int_{0}^{1} | \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x),f'(x)) h'(x) | dx \leq K . ||h|| $)
Par ailleurs :
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f'x),f'(x))\Bigr) h(x) $)
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x),f'(x)) \Bigr) h'(x) \Bigr]\, dt dx | \leq $)
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f'x),f'(x))\Bigr) h(x) $)
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x),f'(x)) \Bigr) h'(x) \Bigr]\ |, dt dx \leq $)
| \int_{a}^{b} \int_{0}^{1} \Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f(x)+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f'x),f'(x))\Bigr) | dt dx + $)
| \int_{a}^{b} \int_{0}^{1} \Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x)+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f'x),f'(x))\Bigr)| dt dx \leq $)
|| \int_{a}^{b} \int_{0}^{1} |\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f(x)+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f'x),f'(x))\Bigr) | dt dx + $)
|| \int_{a}^{b} \int_{0}^{1} |\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f(x)+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f'x),f'(x))\Bigr)| dt dx $)
Après, on fait quoi ?
Il faut pouvoir majorer les deux espressions suivantes :
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f'x),f'(x))\Bigr) | dt dx $)
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,f'x),f'(x))\Bigr) | dt dx $)
Merci pour votre aide :happy3:
Je bloque sur l'exo suivant
Soit
On considère une fonction
Montrer que
Voiçi comment je procède :
On pose :
En effet :
Par ailleurs :
Après, on fait quoi ?
Il faut pouvoir majorer les deux espressions suivantes :
Merci pour votre aide :happy3:
par barbu23 » 12 Oct 2010, 18:11
Un petit up pour voir si quelqu'un a une petite reponse ! :happy3:
Merci d'avance. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:
par Doraki » 13 Oct 2010, 09:43
Ta première ligne de Tex ne veut rien dire.
Tu parles à un moment de l'intégrale pour x allant de 0 à 1 de quelquechose avec du f(x) dedans.
f n'est pas définie sur [0;1], mais sur I.
Tu parles à un moment de l'intégrale pour x allant de 0 à 1 de quelquechose avec du f(x) dedans.
f n'est pas définie sur [0;1], mais sur I.
par barbu23 » 13 Oct 2010, 22:38
Non, le 
est dû à au developpement de taylor avec reste integrale :happy3:
Au cours de ma redaction en Tex, j'ai melangé entre
et sans faire trop attebntion.
Au cours de ma redaction en Tex, j'ai melangé entre
par mathelot » 14 Oct 2010, 06:43
Bonjour,
il y a aucun souçi,
est de classe 
sur un compact, ses dérivées partielles se majorent ainsi que sa différentielle
De plus, l'inégalité du théorème des accroissements finis est valide dans un Banach, en particulier dans
en d'autres termes, on majore uniformément la différentielle de sur I en s'arrangeant pour avoir la norme 
de f en facteur, ce qui rend l'opérateur (intégral) 
lipschitzien.
il y a aucun souçi,
De plus, l'inégalité du théorème des accroissements finis est valide dans un Banach, en particulier dans
en d'autres termes, on majore uniformément la différentielle de
par barbu23 » 14 Oct 2010, 11:07
D'accord, alors, à l'aide de ta suggestion, il faut pouvoir majorer :
+th(x),f'(x)+th'(x))-\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,f'(x),f'(x))\Bigr) | dt dx $)
En effet :
est de classe , alors, les derivées partielles de : 
, et existent et sont continues.
Or, pour pouvoir majorer uniformement la differentielle de :  $)
en 
utilisant le Th. des accroissements finis, il faut que soit de classe 
, ce qui n'est pas le cas ici !
:briques: :help:
Merci pour votre aide. :happy3:
En effet :
Or, pour pouvoir majorer uniformement la differentielle de
:briques: :help:
Merci pour votre aide. :happy3:
par mathelot » 14 Oct 2010, 11:50
re-bonjour,
j'ai regardé ça en vitesse... A priori, le o(h), qui est la différence
entre-\Psi(f)-)
devrait pouvoir être écrit sous forme de Taylor-Young
avec reste intégral en paramétrant le segment+th(x))
i)
Exhiber directement la formule candidate pour la différentielle de (on ramasse tout ce qui est linéaire en h, après avoir considéré l'intégrale de la différentielle de )
l'idée , c'est que la différentielle de,linéaire en 
, est intégrable et comme l'intégrale est une forme linéaire, l'intégrale de la différentielle est la différentielle de l'intégrale
ii) on essaye d'exprimer le o(h) comme une intégrale double sur
et un reste intégral de Taylor que l'on majore sur ce compact K
ça ne marche pas ?
j'ai regardé ça en vitesse... A priori, le o(h), qui est la différence
entre
avec reste intégral en paramétrant le segment
i)
Exhiber directement la formule candidate pour la différentielle de
l'idée , c'est que la différentielle de
ii) on essaye d'exprimer le o(h) comme une intégrale double sur
et un reste intégral de Taylor que l'on majore sur ce compact K
ça ne marche pas ?
par barbu23 » 14 Oct 2010, 12:20
mathelot a écrit:Le problème technique, c'est de ne pas écrire les développements avec un reste
de Taylor-Lagrange et un, dont on sait difficilement démontrer que c'est une fonction mesurable...
Oui, mais qu'est ce qu'on fait alors ? moi aussi je m'en sors pas vite sur ce problème !
On m'a dit d'utiliser la convergence uniforme et considerer une suite
Sais tu clarifier ça Mathelot ? :happy3:
MErci d'avance. :happy3:
par mathelot » 14 Oct 2010, 14:28
re-bonjour,
oui, tu as raison ! au début, j'avais posé , à x "fixé"
=\phi(x,f(x)+th(x),f'(x)+th'(x)))
avec 
autre façon d'écrire
=\phi(x,f+th,f'+th'))
avec l'idée de développer g avec Taylor reste intégral à l'ordre 2:
=g(0)+g'(0)+\int_{0}^{1} (1-t) g^{(2)}(t)dt)
mais...ça marche pas car les fonctions ne sont pas deux fois dérivables
Il faut des arguments plus subtils, notamment de la topologie, voilà quelques idées
quand on regarde l'image du compact K=[a;b] par,f'(x)))
c'est un compact.
il se trouve que sous l'hypothèse
les triplets(x),(f+h)'(x)))
appartiennent , uniformément en h,
au fermé-borné K' \times B(0,|f|_{C1}+\alpha))
de
or, un ensemble fermé , borné de est compact
K' est donc compact et l'application \rightarrow d\phi(u;v,w))
est uniformément continue sur K'. donc, c'est ok. dès que h est "petit" en norme, obtient un o(h)
oui, tu as raison ! au début, j'avais posé , à x "fixé"
autre façon d'écrire
avec l'idée de développer g avec Taylor reste intégral à l'ordre 2:
mais...ça marche pas car les fonctions ne sont pas deux fois dérivables
Il faut des arguments plus subtils, notamment de la topologie, voilà quelques idées
quand on regarde l'image du compact K=[a;b] par
c'est un compact.
il se trouve que sous l'hypothèse
les triplets
au fermé-borné K'
de
or, un ensemble fermé , borné de
K' est donc compact et l'application
est uniformément continue sur K'. donc, c'est ok. dès que h est "petit" en norme
par barbu23 » 16 Oct 2010, 10:04
Mathelot :
Qu'est ce que tu penses des indications cités par egoroff sur le lien suivant :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,625721
Merci pour ton aide. :happy3:
Qu'est ce que tu penses des indications cités par egoroff sur le lien suivant :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,625721
Merci pour ton aide. :happy3:
par mathelot » 16 Oct 2010, 21:22
barbu23 a écrit:Mathelot :
Qu'est ce que tu penses des indications cités par egoroff sur le lien suivant :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,625721
Merci pour ton aide. :happy3:
oui, j'avais lu ça. On arrive à peu près aux mêmes conclusions, à savoir qu'on remplace le manque de classe
Il y a une sorte de dualité, du fait que si
restent dans un voisinage compact du compact
par barbu23 » 17 Oct 2010, 10:47
mathelot a écrit:oui, j'avais lu ça. On arrive à peu près aux mêmes conclusions, à savoir qu'on remplace le manque de classepar de l'uniforme continuité de df sur un compact K'.
Il y a une sorte de dualité, du fait que si
restent dans un voisinage compact du compact, et ce, uniformément en h.
C'est vraiment difficile pour moi ça, je n'y comprends absolument rien
:marteau: :mur: :triste: :hum:Pourriez vous m'expliquer ça avec plus de details comme si j'ai 4 ans, car c'est comme ça moi il me faut du temps pour me remettre à pieds dessus. :marteau:
par barbu23 » 17 Oct 2010, 11:50
D'accord, alors on utilise l'uniforme continuité sur 
, mais est ce que ça repond à la question ? :hein:
par arnaud32 » 18 Oct 2010, 15:55
tu commence par phi(x,y+u,z+v) = phi(x,y,z) + phi'y(x,y,z)*u + phi'z(x,y,z)*v + o(|u|+|v|)
tu l'applique à y=f(x), z=f'(x), u=h(x), v=h'(x).
et tu integre sur x entre a et b:
Psi(f+h) = Psi(f) + int(a,b){phi'y(x,f(x),f'(x))*h(x)}dx + int(a,b){phi'z(x,f(x),f'(x))*h'(x)}dx +int(a,b){g(|h(x)|+|h'(x)|)}dx
ou g(x) = o(|h(x)|+|h'(x)|)
ie g(x)= epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)*(|h(x)|+|h'(x)|) avec epsilon(t)->0 quand t->0
les deux termes du milieu forment une forme lineaire de E dans R:
D(f).(h) = int(a,b){phi'y(x,f(x),f'(x))*h(x)}dx + int(a,b){phi'z(x,f(x),f'(x))*h'(x)}dx
de plus |h(x)|+|h'(x)| =< ||h|| par definition
donc on a int(a,b){g(|h(x)|+|h'(x)|)}dx=< int(a,b){epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)*(|h(x)|+|h'(x)|)}dx
=< int(a,b){epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)*||h||}dx
=< ||h||*int(a,b){epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)}dx
fixons u >0,
pour t assez petit, si ||h||
et finalement,
pour tout u>0 il esixte t>0 tel que si ||h||
d'ou
Psi(f+h) = Psi(f) + D(f).(h) + o(||h||)
tu l'applique à y=f(x), z=f'(x), u=h(x), v=h'(x).
et tu integre sur x entre a et b:
Psi(f+h) = Psi(f) + int(a,b){phi'y(x,f(x),f'(x))*h(x)}dx + int(a,b){phi'z(x,f(x),f'(x))*h'(x)}dx +int(a,b){g(|h(x)|+|h'(x)|)}dx
ou g(x) = o(|h(x)|+|h'(x)|)
ie g(x)= epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)*(|h(x)|+|h'(x)|) avec epsilon(t)->0 quand t->0
les deux termes du milieu forment une forme lineaire de E dans R:
D(f).(h) = int(a,b){phi'y(x,f(x),f'(x))*h(x)}dx + int(a,b){phi'z(x,f(x),f'(x))*h'(x)}dx
de plus |h(x)|+|h'(x)| =< ||h|| par definition
donc on a int(a,b){g(|h(x)|+|h'(x)|)}dx=< int(a,b){epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)*(|h(x)|+|h'(x)|)}dx
=< int(a,b){epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)*||h||}dx
=< ||h||*int(a,b){epsilon(|h(x)|+|h'(x)|)}dx
fixons u >0,
pour t assez petit, si ||h||
et finalement,
pour tout u>0 il esixte t>0 tel que si ||h||
d'ou
Psi(f+h) = Psi(f) + D(f).(h) + o(||h||)
par arnaud32 » 18 Oct 2010, 16:28
tout simplement car il est une combinaison lineaire de fonctions integrables (qui sont les autres membres de l'egalite)
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