Différentielle sur un fermé.

[Georges10]

bonjour à tous. Vous allez bien je l'espère .
J'ai une préoccupation. En fait, j'ai remarqué que lorsqu'en classe, nous avons défini la différentielle d'une fonction, nous avons dit que cette différentielle est unique à condition que la fonction soit définie sur un ouvert de R^n. Et d'après mes recherches, j'ai su qu'en réalité, si f est une fonction définie sur un fermé alors la différentielle de la fonction n'est plus unique.
J'aimerais savoir pourquoi est ce que cette différentielle n'est pas unique quand f est définie sur un fermé.
Merci d'avance pour vos éclairages.

[Ben314]

Salut,
Je suis pas bien sûr de comprendre la question, mais si (par hasard...) c'est bien le cas, ta question, ben c'est la même que de se demander quel est le nombre dérivé en x=0 de la fonction f définie sur Df={0} par (f(0)=1 par exemple).
Bref, pour pouvoir définir un truc local comme la différentielle (ou le nombre dérivée), ben vaut mieux que la fonction soit définie localement...

P.S. Et la notion de différentielle, comme celle de dérivée, tu peut parfaitement la définir sur certains fermés. Par exemple si une fonction réelle f est définie sur un intervalle fermé [a,b] (avec a<b), ben ça pose pas franchement de soucis de définir la dérivée de f en a et en b.
Le problème c'est uniquement s'il y a un point isolé dans le domaine de définition : par exemple si on a on peut évaluer la dérivée en x=1 (qui en fait est infinie), mais ça n'a aucun sens de chercher une valeur pour la dérivée en 0.