Différentielle seconde

[zaidoun]

Bonjour,

Soit f: E --> F de classe C^2 vérifiant pour tout t réel et pour tout x dans E
f(tx)= t^2 f(x) (ici E et F sont deux e.v.n)
Montrer que pour tout x dans E?

C'est juste ce résultat? j'ai fait un petit calcul je trouve que =0

[BiancoAngelo]

Bonjour,

Soit f: E --> F de classe C^2 vérifiant pour tout t réel et pour tout x dans E
f(tx)= t^2 f(x) (ici E et F sont deux e.v.n)
Montrer que pour tout x dans E?

C'est juste ce résultat? j'ai fait un petit calcul je trouve que =0

A quoi correspond ?

C'est la différentielle seconde de quoi ?
Car on a une fonction f d'une variable, et après on en a deux.
Tu peux me préciser stp ?

[Ben314]

A quoi correspond ?

C'est la différentielle seconde de quoi ?
Car on a une fonction f d'une variable, et après on en a deux.

Et même 3 avec le "0" (point où on calcule la différentielle seconde)
La différentielle seconde d'une application f prise en un point (ici au point 0) est une application bilinéaire (symétrique) donc elle s'applique à deux vecteurs, donc par exemple à (x,x).

Montrer que pour tout x dans E? (1)
J'ai fait un petit calcul je trouve que =0 (2)

donc le (1) me semble plus que douteux vu qu'il impliquerais que la fonction f de départ est forcément une fonction quadratique (vu que D²f(0) est forcément une forme bilinéaire)

Et pourtant... si...
La formule de Taylors à l'ordre 2 te dit que, pour tout

Et en appliquant ça à où et est fixé, on trouve



Donc et .

[Ben314]

A quoi correspond ?

C'est la différentielle seconde de quoi ?
Car on a une fonction f d'une variable, et après on en a deux.

Et même 3 avec le "0" (point où on calcule la différentielle seconde)
La différentielle seconde d'une application f prise en un point (ici au point 0) est une application bilinéaire (symétrique) donc elle s'applique à deux vecteurs, donc par exemple à (x,x).

La formule de Taylors à l'ordre 2 te dit que, pour tout


Et en appliquant ça à où et est fixé, on trouve




Donc et .

[zaidoun]

ok merci bien.

On a pour tout x dans E:



Or Df(0)(x)=0 et Df(tx)(x)=

Un calcul rapide montre que Df(tx)(x)= 2 t f(x), et par suite

[BiancoAngelo]

ok merci bien.

On a pour tout x dans E:



Or Df(0)(x)=0 et Df(tx)(x)=

Un calcul rapide montre que Df(tx)(x)= 2 t f(x), et par suite

Merci Ben pour l'explication.