Différentiabilité
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Samoth
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par Samoth » 24 Oct 2022, 20:28
Bonjour,
J'essaye d'étudier l'existence des dérivées partielles de l'application
définie par
en
Voilà ce que j'ai fait :
On a
donc
.
Bon, ça me paraît bizarre, puisque la valeur absolue n'est pas différentiable en
...
Qu'en pensez-vous ?
Merci !
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phyelec
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par phyelec » 24 Oct 2022, 21:46
Bonjour,
Je pense qu'il faut étudier les 2 situations suivantes:
si x> 0 et y >0 si x< 0 et y <0 ou alors f(x,y)=xy
si x< 0 et y >0 ou si x>0 et y <0alors f(x,y)=-xy
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tournesol
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par tournesol » 24 Oct 2022, 22:46
OK Samoth.
Ta méfiance t'honore mais il y a un produit de deux valeurs absolues.
Ce n'est pas du aux deux variables car même avec la variable x on a
qui est differentiable en zéro.
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Samoth
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par Samoth » 25 Oct 2022, 05:35
Merci !
Finalement, pas d'inquiétude, car f est différentiable entout point de
.
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tournesol
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par tournesol » 25 Oct 2022, 16:31
f est differentiable en (0,0),sur le plan moins les axes, mais elle n'est pas differentiable sur les axes sauf en (0,0).
la dérivée partielle par rapport à y en (1,0) n'existe pas.
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Samoth
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par Samoth » 25 Oct 2022, 17:43
Merci pour ta réponse tournesol.
Je m'intéresse maintenant à la continuité des dérivées partielles.
Regardons ce qu'il se passe en
.
Pour la dérivée partielle en x, j'ai montré que
si
et
si
.
J'ai également montré en utilisant la définition de la dérivée partielle que
.
J'ai envie d'en conclure que
et donc que la dérivée partielle de f en x est continue en
.
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tournesol
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par tournesol » 26 Oct 2022, 00:09
la dérivée partielle en x n'existe pas sur l'axe des ordonnées sauf en (0;0)
Il en résulte que la dérivée partielle en x n'est pas définie au voisinage de (0;0)
Donc elle ne peut etre continue en (0;0)
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Samoth
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par Samoth » 26 Oct 2022, 05:35
Je vois, merci.
Aurais-tu un exemple de fonction différentiable mais dont les dérivées partielles ne sont pas toutes continues ?
Je sais en effet que si f admet des dérivées partielles continues en tout point, alors f est différentiable.
Autre question : est-ce qu'on peut considérer la contraposée de cette affirmation, et dire que si f n'est pas différentiable, alors f n'admet pas de dérivées partielles ou f admet des dérivées partielles non continues ?
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tournesol
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par tournesol » 26 Oct 2022, 20:39
désigne la fonction indicatrice de
définit une fontion dérivable seulement en 0 .
Sur
tu peux prendre
qui ne sera dérivable qu'en (0;0).
tu as aussi
f(0)=0 et sinon f(x)=
dérivable sur R mais dérivée non continue en 0.
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Samoth
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par Samoth » 28 Oct 2022, 08:45
Merci tournesol.
Je n'avais pas pensé à me ramener à R pour trouver un contre-exemple.
Merci pour les exemples !
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