Différentiabilité

[Aubenoire]

Bonjour

Je dois prouver qu'une fonction est différentiable. Vous allez rire, je connais la marche à suivre pour le faire en plusieurs dimension, mais je n'arrive pas à le faire pour une dimension x)

Donc, je dois prouver que la fonction :

f(x) = x^2 * sin(1/x), si x 0, et f(0) = 0.

Je voulais donc utiliser la définition lim(x-->x0) (f(x)-f(x0)-f'(x-x0))/(x-x0), et vérifier si c'est bien = 0, mais je n'arrive pas à simplifier l'expression.

Dans mon corrigé, il est simplement écrit :

(f(x)-f(0))/x = xsin(1/x) < x

... :hum: il se passe quoi là du coup ? :hein:

Merci d'avance =)

[zygomatique]

salut

f(0) = 0 => f(x) - f(0) = f(x) => [f(x) - f(0)]/(x - 0) = .... ?

être différentiable en dimension 1 c'est être dérivable ...

ce que tu n'as pas l'air de savoir ... ni même de savoir ce que tu fais quand tu calcules ce que tu calcules ....

[Mikihisa]

Le fait d'être dérivable en x, de derive f'(x) signifie que

(f(x+h) - f(x))/h - f'(x) tend vers 0, quand h tend vers 0.

Cela signifie encore que f(x+h) -f(x) - hf'(x) = o(h)
C'est exactement la définition de la differentiabilite, hf'(x) étant une application linéaire en h.

Pour montrer la derivabilite Zygo t'as expliquer

[mathelot]

tend vers zéro avec x.
d'où


la fonction f est dérivable en tout point de mais f' n'est pas continue en x=0

En dimension 1, dérivable équivaut à différentiable
Dans les dimensions supérieures différentiable dérivable, la réciproque étant fausse.

[Aubenoire]

Merci pour les réponses !

Mais en fait, ce que je ne comprenais pas dans le corrigé, c'est pourquoi ils ont rajoutés l'inégalité xsin(1/x) < x. ça apporte quoi ?

Et sinon, vous avez l'air de dire que différentiable n'est pas la même chose que dérivable ? Il y a une différence ? (désolé, j'étudie en allemand, et on utilise toujours le temps "differenzierbar")

[zygomatique]

le pb quand on utilise la formule que tu utilises et que Mikihisa rappelle c'est qu'il faut connaître f'(x_0) !!!

[Sa Majesté]

Merci pour les réponses !

Mais en fait, ce que je ne comprenais pas dans le corrigé, c'est pourquoi ils ont rajoutés l'inégalité xsin(1/x) < x. ça apporte quoi ?

Et sinon, vous avez l'air de dire que différentiable n'est pas la même chose que dérivable ? Il y a une différence ? (désolé, j'étudie en allemand, et on utilise toujours le temps "differenzierbar")

Tu cherches à évaluer la limite en 0 de

Écrire permet de dire que cette limite vaut 0