Différence série entière et polynome

[elomaths]

Bonjour,

Je me creuse la tête sur cette question : quelle est la différence entre la série entière ;)an x^n et le polynome ;)an X^n ?

Je sais que la série entière est par définition une série de fonctions, mais cela ne me parle pas beaucoup. Concrètement, dans un exercice, si on me parle de ;)an x^n, comment je sais s'il s'agit d'une série ou d'un polynome ?

Merci beaucoup pour vos éclaircissements !

[SaintAmand]

Bonjour,

Je me creuse la tête sur cette question : quelle est la différence entre la série entière an x^n et le polynome an X^n ?
!

Par polynôme vous voulez dire fonction polynôme ? Une fonction polynôme a un nombre fini de termes.

[elomaths]

Et bien je pensais plutôt au polynome P(X)= anX^n + a(n-1)X^n-1 +...+ a1X + a0 (mais nous pouvons associer la fonction polynome à ce polynome je crois)

Je suis d'accord avec vous, un polynôme a un nombre fini de termes (n). Mais n'est-ce pas le cas non plus de la série ?
Lorsqu'on écrit (n>0) anx^n, nous allons bien de 1 à n, donc un nombre fini de termes ?

Je vous explique concrètement mon problème (pour info il s'agit de question de la partie II de la 2ème composition du Capes 2004) :


On a Q(X) un polynôme de degré k.
On a S la série génératrice de (un), c'est-à-dire S = (n;)0) un X^n
[précision au début de l'énoncé : série génératrice S=S(X)=;) (n;)0) un X^n ]
Et enfin P(X) = Q(X)S(X).
La question est montrer que P(X) est un polynôme de degré au plus (k-1).

Si on obtient P(X) est un polynôme, cela signifie donc selon moi que la série génératrice S(X) n'est plus une série entière mais un polynôme !!! :mur:
Voilà donc pourquoi je me demande quelle est la réelle différence entre les deux ?

NB : ma question ne porte pas vraiment sur la question montrer que deg P < k, mais bien sur la nature de P, Q et S

J'espère que mes explications sont suffisamment claires ^^
Merci beaucoup :we:

[arnaud32]

a t on des infos sur la suite u_n?

parce que sinon c'est faux
ex Q(X)=X
u_n = 1/n!
S(X)=epx(X)

et dans ce cas P(X)=X*exp(-X) doit etre un poly nome de degre 0 donc une constante ....

[elomaths]

Oh oui nous avons des infos sur (Un) :

Les k premiers termes sont des complexes u0,u1,...,uk-1,
puis pour n;)k, relation de récurrence : un= a1 u(n-1) + a2 u(n-2) + ... + ak u(n-k)

(c'est un problème sur les suites récurrentes linéaires d'ordre k)

[arnaud32]

ecris le produit de ton polynome p par ta serien entiere
regroupe les termes suivant les puissances de X et utilise ta relation de rec

[laya]

Il faudrait revenir à la définition première d'un polynôme (qu'on a tendance a oublier) :
un polynôme est une suite nulle à partir d'un certain rang.

[elomaths]

Merci beaucoup !!
En effet, vous avez raison, je ne considérais plus un polynome comme une suite de fonctions ! (je fais partie de ces gens qui ont trop tendance à l'oublier :s )

Et merci arnaud32, nous sommes parvenus avec une copine à trouver la solution en regroupant les termes suivant la puissance de X.

Thanks :lol3:

[Nightmare]

Bonjour,

je ne considérais plus un polynome comme une suite de fonctions ! :

Attention, ce n'est pas ce qui a été dit! Un polynôme n'est pas une suite de fonctions (sauf si ses coefs sont des fonctions!)

[elomaths]

non pardon j'ai parlé trop vite !!!
Pas une suite de fonctions, mais une suite d'éléments qui s'annule à partir d'un certain rang !!

merci pour la rectification