Diffeormorphisme

[Aispor]

Bonjours , j'ai du mal à résoudre ces exercices sur le nouveau chapitre :



Pour l'exercice 1, je dois montrer que f est bijective. Puisque résoudre directement le système (u,v)=f(x,y) n'est pas faisable, j'étais parti pour montrer que f était strictement croissante, mais je ne suis pas sûr qu'il y ai de relation d'ordre canonique sur R.R. De plus pour étudier les limites à l'infini de la fonction ... en faite je pense que cette méthode que l'on utilise pour montrer qu'une fonction de R dans R est bijective ne fonctionne pas en dehors de ces fonctions simples.

Pour l'exercice 2 je vais chercher encore un peu ^^

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Un peu de bon sens que diable !!!!
Si dans la vie de tout les jours, on prend une fonction de R^2 dans R^2, par exemple celle qui donne la pression et la température (deux réels) en fonction de la position où on est situé sur la terre (deux réels : la latitude et la longitude). Est ce que tu peut m'expliquer ce que ça pourrait bien vouloir dire que cette fonction est "croissante" ?

Et là où c'est encore pire, c'est que même si cette notion avait du sens, qu'est-ce qui te prouverais que les résultat valables pour les fonction de R->R (*) sont encore valable pour les fonctions de R^2->R^2 ?
Tu n'a toujours pas compris qu'un résultat en math., c'est pas une formule magique qu'on sort d'un chapeau mais un truc qu'on sait démontrer (et que tu doit savoir démontrer). Et si on sait démontrer un résultat pour les fonctions de R dans R, ben ça prouve absolument pas que c'est vrai pour autre chose que pour les fonctions de R dans R.

En bref et en résumé, c'est du grand n'importe quoi complet et absolu...
(*) Par exemple le fait que si f:IcR->R est continue et strictement croissante sur l'intervalle I alors c'est une bijection de I sur f(I).

[pascal16]

Vu de loin, et il y a peut-être plus direct
f bijective, différentiable de réciproque différentiable :

avec la relation sur la dérivée de la fonction, l'injectivité est assuré par le fait que |h(x1)-h(x2)|<k|x1-x2|
ça doit aussi assurer la différentiabilité

k>0 doit assurer les deux autres (différentiabilité de la fn inverse et surjectivité)

[Edit] : Ben, c'est dimanche

[Ben314]

Bon, sinon, pour démontrer ton truc de l'exercice 1, ben y'a pas franchement le choix, il faut montrer que tout (u,v) de R^2 admet un unique antécédent par la fonction f (1).
Arrivé à ce point, il faut se dire que c'est un peu la même chose que le théorème d'inversion locale où on montre justement qu'une certaine fonction est bijective. Sauf que là, c'est pas "local" du tout et il est bien clair que si on montre que f est "localement surjective" ou "localement injective", ben ça prouvera rien au niveau global.
Donc ce qu'il faut faire ici, c'est pas de bêtement appliquer le théorème d'inversion locale, mais d'essayer d'adapter la preuve qu'on connait à ce contexte là. Et la preuve, elle utilise essentiellement une fonction contractante (donc avec un unique point fixe) pour exhiber l'antécédent d'un élément.
Et là, ben il faut faire exactement pareil mais sur R^2 tout entier :
On fixe un (u,v) de R^2 et on considère la fonction h : R^2->R^2 ; (x,y) -> (x,y) - f(x,y) + (u,v) vu que les points fixes (x,y) de cette fonction , ben c'est très exactement les (x,y) tels que f(x,y)=(u,v).
Reste à vérifier que h est lipschitzienne de rapport <1 (sur R^2 tout entier) et ça permet de conclure.

(1) A la limite, on peut le faire en deux temps en montrant qu'il n'y a pas plus d'un antécédent (i.e. que f est injective) puis qu'il y en a au moins un (i.e. que f est surjective). Mais à priori, c'est pas con de commencer par regarder si on arrive pas à montrer directement qu'il y en a un et un seul.

[Ben314]

l'injectivité est assuré par le fait que |h(x1)-h(x2)|<k|x1-x2|

J'ai plus que de gros doutes...
Une application constante (donc pas injective du tout du tout), elle vérifie évidement ce type de relation et même avec k aussi petit qu'on veut.
Une inégalité qui impliquerais l'injectivité, ça serait un truc "dans l'autre sens" du style pour une certaine constante .

Ici, on peut relativement facilement montrer une telle inégalité (avec un truc du style ) par exemple en paramétrant le segment puis en utilisant le T.A.F. vu que, dans ce cas de fonction de R->R, le théorème donne une égalité donc permet à la fois de majorer ou de minorer (alors que pour les fonctions de R^n->R^m, la seule chose qu'on a c'est une inégalité des accroissement finis qui ne permet que de majorer).

Mais bon, ça sert à rien à part perdre du temps vu que, quasiment quelque soit la méthode employée pour la surjectivité, on montrera non seulement qu'un (u,v) quelconque admet au moins un antécédent, mais même qu'il en admet exactement un.

Sinon, une fois la bijectivité de f démontrée, le fait que c'est un difféo., c'est à dire que la bijection réciproque est elle aussi C^1, ça c'est une application directe et immédiate du théorème d'inversion locale ("être de classe C^1", contrairement à "être bijectif", c'est bien une propriété locale).

[Aispor]

Salut Ben et Pascal.
Merci pour vos réponses.

Je n'aurais pas pensé à utiliser le théorème de points fixe pour au final montrer la bijectivité d'une certaine fonction, ça ne parait pas très naturel au premier abord, en effet c'est dans la démonstration du théorème l'inversion locale mais vu qu'elle n'était pas exigible... ^.^
J'ai ensuite conclue à l'aide du théorème d'inversion globale

Sinon, le fait qu'une fonction de R^2--> R^2 soit croissante ne peut être défini qu'à l'aide d'une norme non ? Enfaite je vois pas trop, quand dit-on qu'un point de R^2 est plus grand qu'un autre, de façon naturel je comparerais la norme infini des deux couples de points pour au final les comparer, mais cela retire l'information sur le "signe" des couples des points, enfin le signe des composantes

[pascal16]

soient (x1,y1) et (x2,y2) deux points qui ont même image, on a donc :
x1-h(y1)=x2-h(y2) et y1-h(x1)=y2-h(x2)
soit
x1-x2=h(y1)-h(y2) et y1-y2=h(x2)-h(x1)

implique
|x1-x2|=|h(y1)-h(y2)|≤k|y1-y2| <-- Lipshi+TAF il me semble
|y1-y2|=|h(x2)-h(x1)|≤ k |x1-x2|
soit
|x1-x2|≤k|y1-y2|≤ k² |x1-x2|
or 0<k<1 donc...

Une erreur de ma part car c'est l’imbrication des deux coordonnées qui aboutie au résultat ?