Difféomorphisme

[checkmaths]

Bonjour, je suis en train de faire un exercice tiré d'un ancien examen de Calcul Différentiel que voici :

Considérons la fonction définie par .

On sait que est , que et que l'ensemble des points où est étale peut s'écrire où est l'ensemble des matrices anticommutant avec .

Soit le sous-ensemble des matrices symétriques. On pose .
Rappelons à toutes fins utiles qu'une matrice symétrique est dite : positive si , , et définie positive si , . En outre, toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée.

1. Montrer que est une bijection de sur lui-même.

J'avoue être perdu sur ce genre de question, je ne sais jamais trop par où commencer... Pourriez-vous me donner qq pistes svp ?

[Lostounet]

Bonjour,

Les matrices de Sn seraient-elles des matrices symétriques positives?

[checkmaths]

Non, les matrices de sont des matrices symétriques mais elles peuvent être positives puisque .

[Lostounet]

Non, les matrices de sont des matrices symétriques mais elles peuvent être positives puisque .

Ben tu viens de modifier ton message pour mettre un +

Bref, ton but est de montrer qu'à toute matrice symétrique positive S correspond une unique matrice positive M tel que M^2 = S.

Tout d'abord tu peux utiliser le fait que tout matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthogonale (théorème spectral). Le but est de construire à S donné, un unique M. Que peux-tu dire du signe des valeurs propres de S (et de M ?)

On peut faire à part l'existence et l'unicité si tu veux.

[zygomatique]

pourquoi ne pas poursuivre là : superieur/application-etale-t185401.html ??

[checkmaths]

Parce qu'il y a une question où il faut démontrer que est un -difféomorphisme de sur lui-même. Mais j'y suis pas encore...

[zygomatique]

et alors ? c'est le même sujet ...

[checkmaths]

Si j'avais mis comme sujet "Difféomorphisme et applications étales", j'aurais tout mis ensemble. Mais, comme on peut pas modifier le titre du sujet... Du coup, j'ai coupé en deux pour que tout le monde y voit clair.

[Lostounet]

et alors ? c'est le même sujet ...

et si tu laissais la modération...aux modérateurs? :p

[checkmaths]

En gros, pour cette q° voilà comment je procèderais :

On a : . Donc est une bijection de sur lui-même.

2. Montrer que est un ouvert de .

Les applications sont continues sur . Ainsi, , est un ouvert de , et est un ouvert de comme une intersection finie d'ouverts.

Donc, ça c'est ok, mais c'était chaud et pas sûr que j'aurais trouvé ça en exam

3. Montrer que est un -difféomorphisme de sur lui-même.

[Lostounet]

En gros, pour cette q° voilà comment je procèderais :

On a : . Donc est une bijection de sur lui-même.

C'est quoi cette racine carrée... sur une matrice ?!
Et c'est vraiment trop rapide comme démarche... Tel quel c'est limite faux sans justification supplémentaire.

[checkmaths]

La racine carrée d'une matrice symétrique positive existe et elle est aussi symétrique positive. Donc, cette notation de racine carrée existe bien, non ?

[Lostounet]

La racine carrée d'une matrice symétrique positive existe et elle est aussi symétrique positive. Donc, cette notation de racine carrée existe bien, non ?

Tu ne l'as pas démontré...
Si je te donne maintenant une matrice symétrique positive, tu peux me donner une /sa racine carrée? Et si oui... comment tu sais si elle est unique? (parler de "la" racine carrée, ça veut dire que c'est unique)

[checkmaths]

Justement elle est bien unique : http://poiret.aurelien.free.fr/Exercice ... carree.pdf

[Lostounet]

Justement elle est bien unique : http://poiret.aurelien.free.fr/Exercice ... carree.pdf

Euh... Tu n'as-tu pas remarqué que pour le prouver, le pauvre monsieur a mis une page entière ?
On voit bien que c'est pas quelque chose de super évident. Et si c'est un examen.. tu ne peux pas écrire "racine de B" sans expliquer ce que c'est... Il parle de plus de "matrices codiagonalisables"...

[checkmaths]

Ok donc, après avoir démontré que cette racine existe, on peut faire ce que j'ai fait du coup

[Lostounet]

Ok donc, après avoir démontré que cette racine existe, on peut faire ce que j'ai fait du coup

Pas vraiment non. Il faut montrer que cette racine existe et qu'elle est unique (et c'est plus dur !) avant de pouvoir même utiliser la notation "racine" pour une matrice symétrique positive.

Et tu vois bien que c'est pas si évident que ça, je me trompe? Si je te donne une matrice (qui remplit les hypothèses), comment tu fais pour trouver une de ses racines carrées (cela montrerait l'existence).

Si tu supposes le résultat connu (par exemple si c'est du cours), tu devrais nous le dire. Mais cela n'enlève rien au fait que c'est pas évident (et qu'on va surement pas écrire racine d'une matrice pour camoufler la difficulté de la démo).

[checkmaths]

Je voulais dire après avoir démontrer l'existence et l'unicité de cette racine comme dans http://poiret.aurelien.free.fr/Exercice ... carree.pdf, on peut faire ce que j'ai fait plus haut.

[checkmaths]

Pour la 3., est comme est , est injective, mais je n'arrive à montrer que est étale sur . Pourriez-vous m'aider svp ? Y'aurait-il une autre méthode ?

[zygomatique]

et alors ? c'est le même sujet ...

et si tu laissais la modération...aux modérateurs? :p

il n'est pas question de modération mais de bon sens : quand un prochain étudiant fera se sujet et cherchera un fil en parlant pour de l'aide il semble évident qu'avoir un seul fil qui regroupe l'ensemble des idées et de l'aide apportée est plus pertinente ...

... sans parler du point de vu écologique et consommation d'énergie ...