Difféomorphisme

[zork]

Bonjour,

soit f:]0,+oo[x]0,pi/2[-->]0,+oo[²
f(r,a)=(rcosa,rsina)

comment montrer que f est un C^1 difféomorphisme

J'ai pensé à utiliser le théorème d'inversion globale mais le problème c'est: qui me dit que f(]0,+oo[x]0,pi/2[)=]0,+oo[²? et comment montrer vous que f est injective?


merci

[XENSECP]

Hum ça me rappelle la base polaire... C'est bijectif.

[zork]

oui c'est les coordonnées polaires

mais j'essaye avec le théorème d'inversion globale

[XENSECP]

Hum tu veux dire que tu n'arrives pas à trouver r et a en fonction de x et y ?

[zork]

non, en faites j'essaye de montrer que f est un C^1 difféomorphisme en utilisant le théorème d'inversion globale

[zork]

personne ne voit?

[Aloysius]

Je ne suis qu'en 1ère année de licence mais il me semble qu'il suffit d'étudier les limites aux bornes pour montrer que f(]0,+oo[x]0,pi/2[)=]0,+oo[² ; non ? Avant tout, il est facile de voir que rcosa et rsina sont continus, l'un et l'autre, sur ]0,+oo[x]0,pi/2[... (Tandis que r est, évidemment, continu sur ]0,+oo[, cosa est continu sur ]0,pi/2[, ainsi que sina.) Après ça, il n'est pas difficile de montrer que f est bijective. (Sur ]0,+oo[, r est strictement croissant et, sur ]0,pi/2[, tandis que sina est strictement croissant, cosa est strictement décroissant...)

Enfin, je me trompe peut-être... Je suis encore loin , je crois, de la notion de difféomorphisme.

[arnaud32]

Je ne suis qu'en 1ère année de licence mais il me semble qu'il suffit d'étudier les limites aux bornes pour montrer que f(]0,+oo[x]0,pi/2[)=]0,+oo[² ; non ? Avant tout, il est facile de voir que rcosa et rsina sont continus, l'un et l'autre, sur ]0,+oo[x]0,pi/2[... (Tandis que r est, évidemment, continu sur ]0,+oo[, cosa est continu sur ]0,pi/2[, ainsi que sina.) Après ça, il n'est pas difficile de montrer que f est bijective. (Sur ]0,+oo[, r est strictement croissant et, sur ]0,pi/2[, tandis que sina est strictement croissant, cosa est strictement décroissant...)

Enfin, je me trompe peut-être... Je suis encore loin , je crois, de la notion de difféomorphisme.

tu utilises tout simplement la definition d'un diffeomorphisme
tu montres la bijectivite, la differentiabilite, tu trouves la fonction reciproque et tu montres quelle est differentiable

*injectivite:
f(r,a)=f(r,b) te donne deux egalites que tu peux mettre au carrer et sommer ca te donne r²=s² donc r=s car r et s sont positifs
*surjectivite (ca revient a exhiber la fonction reciproque)


*il rest la differentiabilite des deux fonctions f et f^-1