Bonsoir,j'ai des difficultés avec les espaces métrique..Aidez moi s'il vous plait!!
J'arrive pas à comprendre ces deux démonstrations :
1- A est borné son diamètre est fini
Démonstration :
Si A est borné alors il existe une boule B(x,M)
tq : A B(x,M) c'est à dire : Diam(A) 2M (pourquoi?)
On démontre le contraire:
Supposons que :
Diam(A) +
alors : A B'(x,diam(A)) ( pourquoi??)
et : A B'(x,diam(A)) B(x,2diam(A)) alors : A est bornée.
La source : Mon cahier de cours.
Une autre question : Pourquoi on a démontré le contraire? Y a t-il une autre méthode pour le démontrer ? Une idée ?
2- Diam(A) = Diam (l'adhérence de A)
Démonstration :
On a : A l'adhérence de A Diam(A) Diam(l'adhérence de A) (*)
Soit : x,y l'adhérence de A , c'est à dire : Quel que soit > 0 ; B(x,) A Ø
il existe x' A ; d(x,x') < ( pourquoi?)
et il existe y' A : d(y,y') < (??)
d(x,y) d(x,x') + d(x',y')+d(y',y) 2 + d(x',y')
d(x,y) 2 + diam (A)
On prenons le sup des deux cotés : Diam(l'adhérence de A) diam (A) ( comment?) (**)
Alors : Diam (A)=Diam (l'adhérence de A)
Merci d'avance