Diagonalisation d'une matrice symétrique
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Ben314
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par Ben314 » 06 Jan 2010, 16:28
Je ne connais pas de nom pour ce théorème et la seule preuve que je connaisse passe bien par les complexes.
En ce qui me concerne, je trouve la preuve assez naturelle car :
1) Il me semble assez naturel pour monter qu'un polynôme de K[X] a toutes ces racines dans K de commencer par considérer ces racines (qui sont dans la cloture algébrigue de K) PUIS de montrer qu'elles sont en fait dans K.
2) Le théorème en question peut être vu comme un cas particulier du même théorème concernant les matrices hermitiennes sur C.
Malgrés toutes ces remarques, il existe peut-être une preuve ne passant pas par la cloture algébrique...
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par alavacommejetepousse » 06 Jan 2010, 16:34
bonjour
on peut le faire par récurrence sur la dim
un endo d un R ev possède un plan stable ou une droite stable
s'il y a une droite stable c est fini par récurrence l 'orthogonal étant stable par u*= u eton applique l 'hypothèse de récurrence
s'il y a un plan stable il suffit d écrire la matrice de la restriction au plan pour voir qu'il y a bien la encore des valeurs propres réelles
et on revient au cas précédent.
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par Ben314 » 06 Jan 2010, 17:01
En cherchant sur internet, je n'ai pas trouvé de texte bien clair.
Pour moi, la preuve repose sur le fait que, si
avec
matrice réelle symétrique,
complexe et
vecteur colonne complexe
non nul, alors
(car A réelle symétrique)
donc
et
est réel (et on peut choisir
dans
).
Par contre, en cherchant, j'ai vu une autre preuve "purement réelle" : on considère le maximum de la forme quadratique associée (qui est continue) sur la sphère unité (qui est compacte)...
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par Ben314 » 06 Jan 2010, 18:05
Angélique_64 a écrit:Ca m'a l'air très intéressant... Tu as un lien ?
Non, je suis juste tombé là dessus sur un autre forum (et c'est un exo sur je sais plus quel fameux bouquin de prépa...)
Désolé.
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par Ben314 » 06 Jan 2010, 18:17
En réfléchissant un peu, c'est assez simple :
donc la différentielle en
est
car
symétrique.
Si
est un max. ou min. local sur la sphère alors la différentielle doit être nulle sur l'espace tangent en
à la sphère, c'est à dire que l'on doit avoir
pour tout
tel que
. Cela implique bien que
avec
dans
.
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