Diagonalisation d'une matrice symétrique

[ThekamikazeFou]

Bonjour, j'ai un petit trou de mémoire.

Quel est le type de matrice (symétrique ? ) qui admet uniquement 1 et -1 comme valeur propre?

par exemple nous avons une matrice 7*7 et le spectre vaut 5 donc
spect(1,1,1,1,1,1-1)

merci :)

[adrien69]

A priori symétries (mais ça dépend dans quel corps tu travailles)

[ThekamikazeFou]

je travail dans l'ensemble des réel.

mais pourquoi lors d'un examen, j'ai eut faux :
"M est une matrice diagonalisable car elle est symétrique et réelle, de plus comme M est symétrique les deux valeur propre possible sont -1 et 1 comme valeur propre. "

notation du professeur : Raisonnement faux en me raturant -1 et 1 et "deux valeur propres possible"

je ne comprends pas trop, mon résultat était pourtant correct.

merci!

[Robic]

Est-ce que tu ne confondrais pas matrice symétrique réelle et matrice orthogonale ? Une matrice orthogonale est juste un cas particulier de matrice symétrique.

De mémoire, mais c'est à vérifier :
- si la matrice est symétrique réelle, ses valeurs propres sont réelles (et elle est diagonalisable) ;
- si la matrice est, de plus, orthogonale, ses valeurs propres sont -1 et 1 (c'est la matrice d'une isométrie).

[ThekamikazeFou]

je n'ai jamais parlé de matrice orthogonale...

dans le cas précédent (dans mon examen) il s'agissait en plus d'une matrice orthogonale.

je ne comprends pas trop votre question..

[Robic]

OK, donc l'erreur est claire.

Il ne fallait pas dire :
"M est une matrice diagonalisable car elle est symétrique et réelle, de plus comme M est symétrique les deux valeur propre possible sont -1 et 1 comme valeur propre. "

mais :
"M est une matrice diagonalisable car elle est symétrique et réelle, de plus comme M est orthogonale les deux valeurs propres possibles sont -1 et 1 comme valeur propre. "

(sous réserve de vérification)

[adrien69]

je travail dans l'ensemble des réel.

mais pourquoi lors d'un examen, j'ai eut faux :
"M est une matrice diagonalisable car elle est symétrique et réelle, de plus comme M est symétrique les deux valeur propre possible sont -1 et 1 comme valeur propre. "

notation du professeur : Raisonnement faux en me raturant -1 et 1 et "deux valeur propres possible"

je ne comprends pas trop, mon résultat était pourtant correct.

merci!

Oulà ! Non mais ça c'est complètement faux ! Que ta matrice soit symétrique ne veut absolument pas dire que l'endomorphisme associé est une symétrie !

[ThekamikazeFou]

merci a vous deux !

donc il faut que la matrice soit symétrique orthogonale (une isométrie) pour admettre -1 et 1 comme vp?

mais toute les matrices symétrique n'admettent pas 1 et -1 comme vp c'est ça?

[Robic]

J'ai répondu plus haut (sous réserve de vérification).

De mémoire, mais c'est à vérifier :
- si la matrice est symétrique réelle, ses valeurs propres sont réelles (et elle est diagonalisable) ;
- si la matrice est, de plus, orthogonale, ses valeurs propres sont -1 et 1 (c'est la matrice d'une isométrie).

Regarde dans ton cours si c'est bien ça.

En effet une matrice symétrique réelle peut avoir des valeurs propres différentes de -1 et 1. Par exemple la matrice kI, où I est l'identité, a une valeur propre unique, k. Et on peut choisir k quelconque dans R.

[ThekamikazeFou]

Merci beaucoup !

[Ben314]

merci a vous deux !

donc il faut que la matrice soit symétrique orthogonale (une isométrie) pour admettre -1 et 1 comme vp?

mais toute les matrices symétrique n'admettent pas 1 et -1 comme vp c'est ça?

NON :
Il suffit que la matrice soit orthogonale et symétrique pour que ces seules valeurs propres soient 1 et -1.
Par contre, pour qu'elle soit diagonalisable avec comme seules v.p. 1 et -1 , il faut et il suffit que ce soit une symétrie, c'est à dire que la matrice A vérifie A²=Id.
Ce qui est bien le cas si A est orthogonale (i.e. ) et symétrique (i.e. ) mais il existe évidement des symétries non orthogonales.

[ThekamikazeFou]

Hum si je comprends bien, pour qu'une matrice soit diagonalisable par 1 et -1 il suffit simplement que la matrice soit symétrique? mais pas forcement orthogonale?

Mais par contre il faut qu'elle soit en plus orthogonale pour que les valeu propre soit 1 et -1..
merci !

[Robic]

pour qu'une matrice soit diagonalisable par 1 et -1

Pas très clair... (diagonalisable, c'est diagonalisable, pas diagonalisable par quelque chose)

Je dirais :
- pour qu'une matrice soit diagonalisable, il suffit qu'elle soit symétrique réelle,
- pour que, de plus, les valeurs propres soient -1 et 1, il suffit qu'elle soit orthogonale et que ce soit la matrice d'une symétrie (sinon on sait juste que les valeurs propres sont parmi -1 et 1, mais pas forcément exactement -1 et 1).

Mais bon, c'est à peu de choses près ce que je disais hier, tourné différemment.

[Ben314]

Hum si je comprends bien, pour qu'une matrice soit diagonalisable par 1 et -1 il suffit simplement que la matrice soit symétrique? mais pas forcement orthogonale?

NON, toujours pas : la relation n'implique absolument pas .
Par exemple A=\left(\matrix 1&2 \cr 0&-1\right)

Mais par contre il faut qu'elle soit en plus orthogonale pour que les valeu propre soit 1 et -1..
merci !

[Ben314]

Hum si je comprends bien, pour qu'une matrice soit diagonalisable par 1 et -1 il suffit simplement que la matrice soit symétrique? mais pas forcement orthogonale?

NON, toujours pas : la relation A² n'implique absolument pas .
Par exemple (qui correspond à la symétrie suivant l'axe des x dirigée par la droite y=-x) vérifie A²=Id donc c'est une symétrie : elle est diagonalisable avec comme unique valeurs propre 1 et -1 mais n'est absolument pas symétrique.

C'est quand même pas sorcier de voir que, parmi les 3 conditions suivantes portant sur une matrice A :
1) i.e. A représente une symétrie : elle est diagonalisable avec comme unique v.p. 1 et -1.
2) i.e. A est symétrique, ce qui équivaut à dire qu'elle est diagonalisable dans une b.o.n.
3) i.e. A est orthogonale.
Il n'y a aucune implication directe entre les 3 : il existe des matrices de symétries qui ne son ni symétriques ni orthogonales, il existe des matrices symétriques non orthogonales et qui ne correspondent pas à des symétries et il existe des matrices orthogonales non symétriques et ne correspondant pas à des symétries.

Par contre, dés que 2 des 3 sont vraies, alors la 3em est aussi vraie et on a affaire à une symétrie orthogonale.


De plus, je comprend pas la fin de ton post ("Mais par contre il faut qu'elle soit en plus orthogonale pour que les valeu propre soit 1 et -1.. ") vu que tu rajoute une condition pour obtenir le même résultat...

[ThekamikazeFou]

Ok merci beaucoup a vous deux, je me mélange énormément et je pense que c'est parce que dès le début, quand j'ai débuté les matrices il y a pas mal de temps, je ne cherchais pas a comprendre vraiment ce que je faisais, maintenant je n'ai plus vraiment le choix...

je vais essayer de travailler de mon coter maintenant !
merci pour votre rapidité ;)