Diagonalisation

par **legeniedesalpages** » 08 Jan 2008, 11:49

Bonjour, je coince sur cet exercice:

On travaille ici avec

. On suppose que

.

a. Est-ce que f est diagonalisable?

b. Déterminer

pour lequel on a:

) pour tout

. Est-ce que cette égalité s'étend à

.

Je ne saisis pas vraiment pour la a. Avant on calculait le polynôme caractéristique pour voir si un endomorphisme est diagonalisable. Là apparemment il faut faire autre chose mais je vois pas vraiment quoi.

Merci pour votre aide.

par **alben** » 08 Jan 2008, 12:15

Bonjour
en multipliant les deux membres de f²+f+I=0 par (f-I), on arrive à f^3=I, ça semble curieux si les corps des scalaires est R
Tu peux supposer que f est diagonalisable, donc s'écrit... et la relation ci-dessus te conduit à une contradiction

par **klevia** » 08 Jan 2008, 13:00

Salut, on a le théorème suivant :
f diagonalisable <=> son polynome minimal est scindé à racines simples.

Ici, X²+X+1 est un polynome annulateur de f non factorisable dans R donc c'est le polynome minimal de f donc f n'est pas diagolisable .

par **legeniedesalpages** » 08 Jan 2008, 14:56

merci, je vais regarder ça
:)

par **legeniedesalpages** » 08 Jan 2008, 22:46

pour la b., je suis perdu, quel rapport il y a entre l'endomorphisme f et des sinus? :hein:

par **legeniedesalpages** » 08 Jan 2008, 23:08

b. Déterminer

pour lequel on a:

) pour tout

. Est-ce que cette égalité s'étend à

.

Bon déjà pour voir si f est bijective, et là je vois pas ce qui permet de nous le dire.

Enuite peut être faut-il que je me serve du fait que

, et donc

.

par **kazeriahm** » 08 Jan 2008, 23:16

salut

on a -f^2-f=Id donc f(-f-Id)=Id donc f est inversible

par **achille** » 08 Jan 2008, 23:23

klevia a écrit:Salut, on a le théorème suivant :
f diagonalisable son polynome minimal est scindé à racines simples.

attention pas d'équivalence, la matrice nulle est very diagonalisable sans pour autant avoir un polynome carac à racines simple : il est (-X)^n, mais le sens <= est juste, et il fait l'affaire pour la première question considérant le corps....

par **legeniedesalpages** » 08 Jan 2008, 23:29

achille a écrit:attention pas d'équivalence, la matrice nulle est very diagonalisable sans pour autant avoir un polynome carac à racines simple : il est (-X)^n, mais le sens <= est juste, et il fait l'affaire pour la première question considérant le corps....

non mais pour le polynôme minimal il y a bien équivalence.

par **legeniedesalpages** » 08 Jan 2008, 23:31

kazeriahm a écrit:salut

on a -f^2-f=Id donc f(-f-Id)=Id donc f est inversible

ah d'accord, merci.

Tu aurais une piste à me donner pour la formule avec le sinus? je dois faire une genre de binôme de Newton?

par **achille** » 08 Jan 2008, 23:47

legeniedesalpages a écrit:non mais pour le polynôme minimal il y a bien équivalence.

sory j'ai cru avoir lu polynom carac...

par **kazeriahm** » 09 Jan 2008, 00:39

deja pour n=2 tu as

f^2=1/sin(theta)*(sin(2theta)f-sin(theta)*Id))

Donc 2*cos(theta)=-1 (si theta existe), et theta=+-Pi/3 [2Pi]

De plus il est clair que si theta convient, -theta aussi. Donc si theta existe theta=+-Pi/3 [2Pi].

Maintenant je pense qu'une récurrence permet de conclure.

par **legeniedesalpages** » 09 Jan 2008, 11:13

kazeriahm a écrit:deja pour n=2 tu as

f^2=1/sin(theta)*(sin(2theta)f-sin(theta)*Id))

Donc 2*cos(theta)=-1 (si theta existe), et theta=+-Pi/3 [2Pi]

De plus il est clair que si theta convient, -theta aussi. Donc si theta existe theta=+-Pi/3 [2Pi].

Maintenant je pense qu'une récurrence permet de conclure.

ok merci je regarde ça, par contre ce serait plutôt

, non?

par **legeniedesalpages** » 09 Jan 2008, 11:55

par contre j'ai du mal à montrer l'hérédité pour la récurrence,

ie si c'est vérifié jusqu à l'entier n, comment montrer que c'est vérifié pour n+1 ?

par **kazeriahm** » 09 Jan 2008, 12:35

j'aurais dit avec le binome de Newton, sans garanti

par **legeniedesalpages** » 09 Jan 2008, 15:28

ok merci kazeriahm, je regarderai ça plus tard.

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