Diagonalisation

[zorg]

Comment diagonaliser la matrice suivante:



C'est une matrice symétrique donc diagonalisable.
La somme des colonnes est constante donc e+a+b+c est une valeur propre.

Maple donne pour les autres valeurs propres:

-b + a + e - c, b - a + e - c, -b - a + e + c

Peut-on éviter le calcul du polynôme caractéristique pour trouver ces valeurs propres ? Y a t-il de même un argument non calculatoire pour trouver les sous-espaces propres associés ?

[fahr451]

bonsoir sauf erreur

la matrice est cbl de 4 matrices qui sont des matrices de permutation
M (sigma)

chaque permutation sigma (sauf id) étant le produit de deux transpositions à supports disjoints
chaque matrice est une symétrie donc diagonalisable de valeurs propres 1 et -1


ces matrices commutent deux à deux donc sont diagonalisables dans la même base qui diagonalise aussi M

[manelle]

Comment diagonaliser la matrice suivante:



C'est une matrice symétrique donc diagonalisable.
La somme des colonnes est constante donc e+a+b+c est une valeur propre.

Maple donne pour les autres valeurs propres:

-b + a + e - c, b - a + e - c, -b - a + e + c

Peut-on éviter le calcul du polynôme caractéristique pour trouver ces valeurs propres ? Y a t-il de même un argument non calculatoire pour trouver les sous-espaces propres associés ?

Oui j'ai vu récemment ce type de question avec les matrices circulantes :
avec par exemple première ligne : a1,a2,...,an
deuxième ligne: an,a1,a2,...a(n-1)
et ainsi de suite en faisant circuler ,
on fait intervenir le polynôme P= a1+a2X+...+anX^(n-1)
et les racines n-ièmes de 1 : u1,u2,...,un ,
alors en notant Uk le vecteur colonne (1,uk,uk²,...,uk^(n-1))
et bien le miracle se produit :
AUk=P(uk)Uk
ce qui fait que l'on tient n valeurs propres et n vecteurs propres .
Je n'avais moi-même jamais remarqué et vais m'empresser d'en faire un exo de colle !

[yos]

Ici la matrice est symétrique, ce qui simplifie les choses. La technique générale des matrices circulantes n'est peut-être pas la plus adaptée.

[zorg]

Oui j'ai vu récemment ce type de question avec les matrices circulantes :
avec par exemple première ligne : a1,a2,...,an
deuxième ligne: an,a1,a2,...a(n-1)
et ainsi de suite en faisant circuler ,
on fait intervenir le polynôme P= a1+a2X+...+anX^(n-1)
et les racines n-ièmes de 1 : u1,u2,...,un ,
alors en notant Uk le vecteur colonne (1,uk,uk²,...,uk^(n-1))
et bien le miracle se produit :
AUk=P(uk)Uk
ce qui fait que l'on tient n valeurs propres et n vecteurs propres .
Je n'avais moi-même jamais remarqué et vais m'empresser d'en faire un exo de colle !

La matrice que j'ai donnée n'est pas une matrice circulante.

Zorg

[zorg]

bonsoir sauf erreur

la matrice est cbl de 4 matrices qui sont des matrices de permutation
M (sigma)

chaque permutation sigma (sauf id) étant le produit de deux transpositions à supports disjoints
chaque matrice est une symétrie donc diagonalisable de valeurs propres 1 et -1


ces matrices commutent deux à deux donc sont diagonalisables dans la même base qui diagonalise aussi M

L'argument me semble pertinent. Maisn cela donne 8=2^3 valeurs propres potentielles. Il faut donc en éliminer certaines. Peut-on faire l'économie de la recherche des vecteurs propres ?
Bon je vais encore réfléchir sur cet exo et je vous dirais...

[yos]

C'est vrai ça, elle n'est pas circulante.
Attention les valeurs propres des matrices de permutation dont parle Fahr ne sont pas valeur propre de ta matrice.
Tu peux diagonaliser chaque matrice de permutation séparément. Puis les ajouter (si tu as bien pris la même base ou matrice de passage).

[manelle]

La matrice que j'ai donnée n'est pas une matrice circulante.

Zorg

Oups ! effectivement j'ai posté cela un peu vite avant de partir ce matin et je me demandais dans la voiture pourquoi j'avais des valeurs propres complexes alors que Maple donne des réelles : je comprends , excusez-moi , ici la matrice est réelle symétrique alors que la circulante non .

[fahr451]

bonjour
ça vous va pas ce que j 'ai écrit ?

[manelle]

Oups ! effectivement j'ai posté cela un peu vite avant de partir ce matin et je me demandais dans la voiture pourquoi j'avais des valeurs propres complexes alors que Maple donne des réelles : je comprends , excusez-moi , ici la matrice est réelle symétrique alors que la circulante non .

Quitte à m'enfoncer encore un peu , je sais que les petits malins que j'ai en colles auraient vu tout de suite que puisque la somme des colonnes est constante , le vecteur (1,1,1,1) est propre pour la valeur e+a+b+c , puis (1,-1,1,-1) pour la valeur e-a+b-c , puis (1,1,-1,-1) pour e+a-b-c , puis (-1,1,1,-1) pour -e+a+b-c .

[zorg]

bonjour
ça vous va pas ce que j 'ai écrit ?

Si ça va très bien.

Je viens de faire les calculs et on s'en sort relativement bien.

Disons que la matrice M=eI+aA+bB+cC

A, B, C sont des symétries donc ont pour spectre 1 ou -1

On a donc 2^3=8 valeurs propres potentielles pour M. En cherchant pour chaque cas, un vecteur propre commun à A, B et C, on s'aperçoit qu'il n'y a plus que 4 cas à savoir: a+b+c+e, a-b-c+e, -a+b-c+e et -a-b+c+e de vecteur propre respectif (1,1,1,1); (1,1,-1,-1); (1,-1,1,-1) et (1,-1,-1,1)

Zorg

[fahr451]

cen 'est pas exactement ce que j'ai dit

A,B,C commutent deux à deux (le vérifier) AB= C= BA etc

donc on les diagonalise dans la MEME base

et on a directement une base de diagonalisation pour M

[zorg]

cen 'est pas exactement ce que j'ai dit

A,B,C commutent deux à deux (le vérifier) AB= C= BA etc

donc on les diagonalise dans la MEME base

et on a directement une base de diagonalisation pour M

Oui on s'est bien compris. Je cherche des vecteurs propres communs aux matrices A, B et C pour les valeurs propres -1 et +1. On a a priori 2^3 cas possibles. Mais certains cas donnent uniquement le vecteur nul qui ne peut être propre.

Zorg