Diagonalisation matrice

[C.F]

Bonjour,je ne sais pas ce que je dois faire avec cette question...pouvez vous m'aider?

On munit Rn de sa structure euclidienne canonique:on note le produit scalaire (x,y).On considère A qui appartient à Mn(R) symétrique. Soit a l'endomorphisme (symétrique) canoniquement associé à la matrice A.Le but de l'exercice est de montrer que l'endomorphisme a est diagonalisable en base orthonormée, et donc que A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale.

a) Soit f:Rn -->R, f(x)=(a(x),x).
Montrer qu'il existe xo de norme 1 tel que f(xo)=supf(x) avec ||x||=1.

b)soit y qui appartient à Rn,||y||=1.soit t qui appartient à [-1,1] (mais différent de -1 et 1).Montrer que : (a(xo+ty),xo+ty)<(a(xo),xo)||xo+ty||² (c'est infférieur ou egal mais je ne sais pas faire le signe..dsl...) eten déduire que xo est vecteur propre pour a.(Indication:faire tendre t vers 0).

c) Montrer que l'hyperplan orthogonal à xo (noté (Rxo-)) est stable par a ,et que la restriction de a à (Rxo-) est un endomorphisme symétrique de (Rxo-) muni de la struture euclidienne induite par celle de Rn.

d) En déduire qu'il existe une base orthonormée de Rn qui diagonalise a.

Merci de m'aider...

[alavacommejetepousse]

bonjour

a ) qu 'as tu fait ?

[C.F]

rien du tout,à la première question je voulais montrer que c 'était une norme mais je ne suis meme pas sur que ce soit ça qu'il faut que je fasse.

[alavacommejetepousse]

en dim finie que dire de la sphère unité ?

[C.F]

je ne comprend pas ce que vous me demander..dsl

[alavacommejetepousse]

elle est compacte

[C.F]

je dois utiliser ça pour résoudre la première question?

[alavacommejetepousse]

à ton avis ?

[C.F]

je ne sais pas,je suis completement perdu.JE ne sais meme pas ce que je dois faire à la 1er question et si c'est à la première que je dois indroduire la shére unité....Aussi je ne comprend pas pourquoi on doit utiliser la sphère unité...

[alavacommejetepousse]

quelquefois il est bon de lire l 'énoncé

sup ll f(x) ll pour ll xll= 1 on est donc bien sur la sphère unité qui est compacte ; reste à dire que f est ...