[RESOLU] Devoir sur suites et séries

[odsen]

Bonjour à tous,

J'ai bloqué un bon moment sur une question de DM (facultatif), je m'en remets donc à vos conseils.

Voici ce qui a été établi dans les questions précédentes :

- Si est une suite de réels, elle converge si et seulement si la série de terme général converge.

- est une suite à termes positifs ou nuls. . La suite est définie par la relation de récurrence : . On a montré que était croissante.

Voici la question où je bloque :

On suppose que la série de terme général converge.
(a) Montrer que la série de terme général converge
(b) Conclure que la suite converge

Le (b) est évident quand (a) est montré, grâce à la première propriété énoncée dans ce message. C'est donc sur le (a) que je bloque.

J'ai essayé de comparer la suite à . vaut en fait . On pourrait alors majorer par , et conclure que la série de tg converge, mais il faudrait pour cela montrer que est supérieur ou égal à 1 à partir d'un certain rang, ce que je n'arrive pas à faire.

Si vous avez une piste, n'hésitez pas à m'en faire part.
Par avance, merci.

Benoît.

[Monsieur23]

Bonjour.

Comme (un) est croissante, tu peux minorer un par u0 pour tout n, non ?

[busard_des_roseaux]

oui, je plussoie sur ce qu'écrit Mr 23,

Il suffit d'écrire une tranche de Cauchy (critère de Cauchy)
de la série de terme général
et de majorer par

[odsen]

Bonjour,

Tout d'abord merci de votre aide.
Si j'ai bien compris, il faut faire comme ceci :

est croissante, donc .
Donc .
Or converge donc converge donc converge.

C'est bien ça?

[Monsieur23]

Il ne faut pas comparer les séries directement !

Tu as :



Et tu conclues par théorème de comparaison pour les séries à termes positifs.

[odsen]

Il ne faut pas comparer les séries directement !

Oups oui, étourderie.

Tu as :



Et tu conclues par théorème de comparaison pour les séries à termes positifs.

C'est bien ce que je voulais écrire.
Merci pour votre aide !