Développer en Series entières

[louls]

Bonjour,
je suis actuellement en train d'étudier les séries entière et je bloque sur un exercice où il faut développer au voisinage de 0 les fonctions suivantes:
f1=z/(z²-3z+2) j'ai alors écris cette fonction sous la forme f=-1/(z-1) + 1/(z-2) puis j'au utilisé le dl de 1/1-h mais je suis alors bloqué car j'obtiens quelque chose sous la forme z(somme z^n -1/2somme (z/2)^n)
comment retomber sur une serie de la forme somme(an.z^n) ?!

ensuite j'ai deux fonctions où je ne sais pas trop comment partir c'est
f=1/(2z-1)²

et f=1/(1+z+z²)

si vous avez des idées ...
merci beaucoup!

[girdav]

Bonjour,
on peut écrire que ce qui devrait régler la première question.
Pour la deuxième il faut voir comme la dérivée d'une fonction développable en série entière.
Pour la troisième il faut trouver les racines du dénominateur (complexes non réelles), faire une décomposition en éléments simples et développer chaque élément simple.
Par ailleurs, je crois qu'il faut préciser dans chaque cas le rayon de convergence.

[Ben314]

Salut,
Pour "compléter", je rajouterais que, pour 1/(2z-1)², une autre méthode consiste à utiliser le D.V. en série entière de (1+x)^alpha (ici alph=-2) qui est dans tout formulaire et qu'il est de bon ton de connaitre...

Par contre, c'est plutôt plus long que ce que propose Girdav...

[Pythales]

On peut aussi utiliser la division de polynomes selon les puissances croissantes ...