Il s'agit d'un exercice que j'ai commencé mais sur lequel je bute probablement à cause d'une grossière erreur de calcul mais que je ne parviens pas à déceler.
il me faut trouver le dvpt limité à l'ordre 3 en 1 de f(x)= x^(1+1/x)= exp((1+1/x)*ln(x))
J'ai commencé quelques calculs mais n'arive pas au résultat demandé qui est f(x)= 1 + 2(x-1) - (1/2)(x-1)³ +
((x-1)³)Voici ce que j'ai fait:
J'ai posé Y= x-1 pour chercher le DL en 0 à l'ordre 3 de: exp((1+1/(Y+1))*ln(Y+1))
Tout d'abord, le DL à l'ordre 3 de: 1+1/(Y+1) est: 2 - Y + Y² - Y³ +
(Y³)Ensuite, le Dl à l'ordre 3 de: ln (1+Y) est: Y - Y²/2 + Y³/3 +
(Y³)d'où le Dl à l'ordre 3 de: (1+1/(Y+1))*ln (1+Y) est :
2Y - 2Y² + (13/6)Y³ +
(Y³)Enfin le Dl à l'ordre 3 de: exp((1+1/(Y+1))*ln(Y+1)) est:
1 + 2Y - (11/6)Y³ +
(Y³)Ce qui m'amène à (en rétablissant le changement de variable):
f(x)= 1 + 2(x-1) - (11/6)(x-1)³ +
((x-1)³)alors que le bon résultat est:
f(x)= 1 + 2(x-1) - (1/2) (x-1)³ +
((x-1)³)Si vous avez des pistes; merci d'avance.