Développements limités et équation de la tangente

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FunkS01
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Développements limités et équation de la tangente

par FunkS01 » 11 Avr 2021, 09:22

Bonjour,
J'essaie depuis longtemps de trouver la réponse à une question mais je n'y arrive pas :(.
Soit une fonction f(x)= 1/x( -ae^3x+b(1+2x)^1/2 + c cos(x/2)) il faut que je détermine a,b et c pour que la courbe de la fonction admette une tangente d'équation y=x.
Je suis partie du fait que comme f admet un DL1(0) alors elle est derivable en 0, donc sa courbe admet une tangente. À partir de là j'essaie de résoudre un système( après avoir calculé un DL3(0))mais c'est assez compliqué,pourriez-vous m'aider svp?



Black Jack

Re: Développements limités et équation de la tangente

par Black Jack » 11 Avr 2021, 10:22

Bonjour,

Faut-il comprendre :

ou bien

ou bien quoi d'autre ?

8-)

FunkS01
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Re: Développements limités et équation de la tangente

par FunkS01 » 11 Avr 2021, 11:25

La première fonction !

Black Jack

Re: Développements limités et équation de la tangente

par Black Jack » 11 Avr 2021, 12:04

Bonjour,

Je n'ai rien d'un matheux et donc attendre une réponse de quelqu'un qui sait ...

Néanmoins, une approche, juste pour voir si il existe des solutions :

Soit X l'abscisse du point de tangence.
On doit avoir : f(X) = X
qui impose : X² = -a.e^(3x) + b.(1+2X)^(1/2) + c.cos(X/2) (1)

Il faut aussi f'(X) = 1
f'(X) = (-3a.e^(3X) + b/(1+2X)(1/2) - c/2.cos(X/2))/X - (-a*e^(3X) + b(2X+1)^(1/2) + c.cos(X/2))/X² = 1
et avec (1) -->
(-3a.e^(3X) + b/(1+2X)(1/2) - c/2.cos(X/2))/X - 1 = 1

-3a.e^(3X) + b/(1+2X)(1/2) - c/2.cos(X/2) = 2X (2)

Avec X dans ]-1/2 ; 0[ U [0 ; +oo[

Cela ne fait que 2 équations (avec 4 inconnues (a, b, c et X)).

De là à tirer toutes les solutions ... il manque évidemment des choses.

A la mode "ingénieur" et donc pas permise pour les matheux, on peut trouver (du moins approximativement) des solutions au problème.

J'ai trouvé par exemple : a = -1 ; b = -1,926843 ; c = 1 et le point de tengence à l'abscisse X = -0,14224655
(valeurs evidemment approximatives).

Voici ce que cela donne (graphe partiel de f(x) et de la tangente)

Image

Il y a probablement d'autres possibilités... que d'autres t'aideront peut-être à trouver.

8-)
Modifié en dernier par Black Jack le 11 Avr 2021, 12:23, modifié 1 fois.

FunkS01
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Re: Développements limités et équation de la tangente

par FunkS01 » 11 Avr 2021, 12:21

Merci beaucoup
Votre méthode marche bien!
Mais je dois passer par un développement limité en 0( vu qu'on traite ce chapitre)
Dans tous les cas merci !

hdci
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Re: Développements limités et équation de la tangente

par hdci » 11 Avr 2021, 13:14

Bonjour,

Donc l'énoncé n'est pas complet !

S'agit-il de dire qu'en 0 la fonction admette une tangente d'équation y=x ?

La présentation de BlackJack est conforme à l'énoncé : "quelque part il y a une tangente d'équation y=x" (puisque ce "quelque part" c'est précisément son inconnue X)

Mais si ce "quelque part" n'est pas "0", le DL en zéro ne sert strictement à rien.

D'où l'importance de bien donner l'énoncé en entier.

Si vous utilisez un DL en 0, vous avez l'écriture suivante




Et alors vous avez directement l'équation de la tangente "y=x" en zéro, il suffit que A=0 et B=1.

Vous utilisez donc les DL en 0 des trois fonctions qui sont au numérateur et vous vous débrouillez pour obtenir voter A et votre B. Il faut bien choisir l'ordre des DL au numérateur sachant qu'on divise le tout par x.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

catamat
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Re: Développements limités et équation de la tangente

par catamat » 11 Avr 2021, 13:15

Bonjour,

Je n'ai pas fait les calculs mais si on cherche le DL de la parenthèse en 0, quand on multiplie ensuite par 1/x
on se retrouve avec un terme en 1/x dont le coeff doit être nul cela donne -a+b+c=0.

Ensuite le terme constant qui correspond à f(0) doit être nul aussi puisque f(x)=x (comme l'a souligné black jack) et enfin le terme en x à un coeff qui est f'(0) donc qui doit être égal à 1 pour avoir la tangente de coeff directeur 1 au point 0.

On a donc un système (3,3) à résoudre.

 

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