Développement en série de fourier

[ArtyB]

Bonjour,

J'ai un peu de mal sur la seconde question de cet énoncé, si vous avez des idées je suis preneur:

Soit a un réel non nul. On considère la fonction f, paire, 2 pi périodique, dont la restriction à est donnée par:


1. Donner les coefficients de Fourier et .

2. Calculer:


et



1. On a:

et


2. No idea de comment procéder je sais que je dois utiliser les séries de Fourier et le fait que cos(z)=ch(z)

[Doraki]

ton expression pour an(f) est fausse. (pareil avec bn)

[ArtyB]

Ah bon ? Bizarre, dans mon cours les coefficients sont de la forme:

et

[Doraki]

Oui, là c'est bon.

[aymanemaysae]

Je pense que la restriction est sur [0,], comme je pense qu'il est préférable de commencer l'intégration sur [-,] .

[aymanemaysae]

C'est un problème qui est très difficile pour moi, même si j'ai trouvé une solution sur Internet, celle ci n'était pas du niveau de mes capacités intellectuelles. Si l'un de nos professeurs sur ce site pouvait la simplifier, ce serait vraiment une manne.

[ArtyB]

Oui, là c'est bon.

Dans ce cas là mon expression était bonne aussi dans le premier message comme je n'ai fait que remplacer la fonction f par son expression ie remplacer f(x) par ch(ax), non ?

Waow ça m'a l'air un poil compliqué cette façon de résoudre l'exercice en effet, je suis preneur d'explications et de développements explicités si vous en avez

[Doraki]

Dans ce cas là mon expression était bonne aussi dans le premier message comme je n'ai fait que remplacer la fonction f par son expression ie remplacer f(x) par ch(ax), non ?

Waow ça m'a l'air un poil compliqué cette façon de résoudre l'exercice en effet, je suis preneur d'explications et de développements explicités si vous en avez

Où as-tu vu que f(x) = ch(ax) pour tout x dans [0;2pi] ? parceque c'est pas vrai et c'est ce que tu utilises quand tu "remplaces f par son expression". D'ailleurs on ne t'a jamais donné d'expression pour f.

[MouLou]

Pourtant y a absolument rien de compliqué, il ne fait qu intégrer des exponentielles et réduite au même dénominateur. Tous les calculs de coefficients de fourier sont comme ça . Faut juste être soigneux

[ArtyB]

Où as-tu vu que f(x) = ch(ax) pour tout x dans [0;2pi] ? parceque c'est pas vrai et c'est ce que tu utilises quand tu "remplaces f par son expression". D'ailleurs on ne t'a jamais donné d'expression pour f.

C'est dans l'énoncé de l'exercice cf mon premier message, c'est pour ça que je remplace f par son expression

[aymanemaysae]

La fonction est paire.
La fonction est périodique de période 2.
La fonction est égale à ch(x) sur [0,].
Cela n'est-il pas équivalent à : f(x) = ch(x) sur ?

[Ben314]

C'est dans l'énoncé de l'exercice cf mon premier message, c'est pour ça que je remplace f par son expression

Relit tout bien comme il faut ce que Doraki a écrit : ton énoncé ne dit pas du tout que f(x)=ch(ax) pour .

[aymanemaysae]

f n'est-elle pas la restriction de la fonction cosinus hyperbolique sur ?

[MouLou]

Oui, ce qui veut dire Qu elle n est pas la restriction de ch a [0,2pi]

[ArtyB]

Ahhhh au temps pour moi. En effet on a l'expression de f seulement pour la restriction . Désolé pour ma lenteur d'esprit à comprendre parfois.
Donc en fait la réponse à la question 1 demande juste de reprendre l'expression des coefficients de Fourier.
Concernant le corrigé posté par aymanemaysae, dans le corrigé une des conditions est la nullité du coefficient que l'on ne connaît pas dans mon cas.

[MouLou]

C est pas une condition, c est une conséquence de la partié de f. Fait le changement x donne -x dans la formule de bn

[MouLou]

Ou même pas, coupe l intégrale en -Pi 0 et 0 Pi

[ArtyB]

Je ne comprends pas, on a:
Comment peut on savoir que c'est nul ?
Même en faisant un changement de variable de t=-x je ne vois pas, et pareillement pour couper l'intégrale en deux.
Ou alors on utilise le fait qu'elle soit 2 pi periodique et paire et on dit que la moitié de la periode est à pi et que donc de pi à 2pi on a f(x)=f(-x) mais en quoi cela mene-t-il à la nullité de l'expression ?

[Ben314]

Les intégrales permettant de calculer an et bn, tu peut les prendre sur n'importe quel intervalle de largeur 2pi vu que f est périodique de période 2pi et, si f est paire ou impaire, il est évidement bien plus malin de prendre un intervalle centré en 0, (donc sur [-pi,pi]) de façon a pouvoir utiliser la parité de f.

[ArtyB]

Yep je comprends bien ça. Mais en quoi cela donne-t-il la nullité de b_n ?