Développement d'un polynôme à la puissance n

[duchere]

Bonjour,


On y décrit une technique pour calculer un polynôme à la puissance n rapidement sans faire de gros développements...

Très pratique quand on est à la bourre en DS.

Bonne nuit à tous.

[duchere]

Un exemple d'application en DS :

Donner un D.L. à l'odre 2 en 0 de

f(x)=sin[2Pi(1+2x-x²)^5]

Eh bien si vous n'avez pas de technique de calcul des coefficients de ce polynôme à la puissance 5 tronqué au degré 2, vous êtes mort.

En appliquant l'algorithme :

1 2 -1
1 4 2
1 6 9
1 8 20
1 10 45

d'où f(x)=sin[2Pi(1+10x+45x²+o(x2))]=sin[2Pi(10x+45x²+o(x²))]

Finalement f(x)=2Pi(10x+45x2)+o(x²)

Le DL est trouvé en moins d'une minute.

[duchere]

Autre exemple d'application où on a besoin d'un polynôme tronqué :

Une matrice M nilpotente et on veut calculer

(I+M+M²)^7

Si M^4=0, la seule connaissance du polynôme tronqué suffit.

En utilisant l'algorithme, on obtient très rapidement ces coefficients.

1
1 1 1 0
1 2 3 2
1 3 6 7
1 4 10 16
1 5 15 30
1 6 21 50
1 7 28 77

D'où (I+M+M²)^7=I+7M+28M²+77M^3

Pratique !