Developpement limité

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SamAz
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Developpement limité

par SamAz » 29 Jan 2021, 15:02

Bonjour, j'espere que vs etes biens.
Je bloque dans une question de DL qui a l'air plutot facile mais j'arrive pas a faire.
j'ai a calculer le DL a l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction:

la constante a etant un réel.
Modifié en dernier par SamAz le 29 Jan 2021, 15:37, modifié 1 fois.



phyelec
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Re: Developpement limité

par phyelec » 29 Jan 2021, 15:16

Bonjour,

à quel ordre ce DL?

SamAz
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Re: Developpement limité

par SamAz » 29 Jan 2021, 15:37

a l'ordre 3. pardon je devais mentionner ceci

phyelec
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Re: Developpement limité

par phyelec » 29 Jan 2021, 15:47

il faut appliquer la formule de Mac Laurin avec f(x)=
Quelle formule avez-vous dans votre cour?
calculer:
- f'(x) puis f'(0)
- f''(x) puis f''(0)

connaissez la dérivée de arctan(x)?

SamAz
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Re: Developpement limité

par SamAz » 29 Jan 2021, 15:50

oui, je connais bien la derivee de arctan(u) ainsi que la formule de mac-laurin. mais cette derniere est uniquement valable au voisinage de 0, or la limite de la fonction quotient a l'interieur de l'arctangente n'est pas 0. j'ai pensé a faire un changement de variable et utiliser la formule de taylor-lagrange mais ca n'a pas marché.

SamAz
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Re: Developpement limité

par SamAz » 29 Jan 2021, 15:57

ce que j'ai fait est le suivant:
j'ai cherché de DL a l'ordre 3 de la fraction


mais ce DL tend vers a en 0.

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mathelot
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Re: Developpement limité

par mathelot » 29 Jan 2021, 15:58

bonjour,
pour x voisin de 0.

cette formule s'obtient:
- soit en montrant que
- soit avec une formule de trigo :
en posant x=tan(y) et a=tan(b)
Modifié en dernier par mathelot le 29 Jan 2021, 16:54, modifié 4 fois.

phyelec
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Re: Developpement limité

par phyelec » 29 Jan 2021, 16:04

je ne comprends pas votre question? pourquoi ne faites-vous pas x=0 dans f(x)?
je trouve f(0)=arctan(a) et f'0)=

si on démarre on a f(x)=f(0)+xf'(0)+.....

phyelec
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Re: Developpement limité

par phyelec » 29 Jan 2021, 16:05

f'(0)=1-a

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Re: Developpement limité

par mathelot » 29 Jan 2021, 16:34

@SamAz:
posons

Tu peux calculer la dérivée de f. En effet, la dérivée de f a un DL très simple (on peut ensuite l'intégrer
pour obtenir le DL de f).

corrigé
Après calculs on obtient . Les termes en a se simplifient.

Sur un voisinage de 0, pour



On intègre:

Quand x tend vers zero.

La constante d'intégration vaut arctan(a).

 

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