Développement limité

[sauvezmonannee]

Bonjour,

Voici la question qui me pose problème :

Soit f l’application de deux variables définie par f(x, y) = ln(y − x^2) + x.
En déduire le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de (0, 1).

Indication: On donne pour u voisin de 0 :
ln(1 + u) = u −(u^2/2) + . . . + [(−1)^(n+1). u^n/n ]+ o(un)

Dans une autre question j'ai trouvé le développement à l'aide de la formule de Taylor, je n'arrive pas à le retrouver avec cette autre formule.

En attente d'un peu d'aide, merci d'avance !

[FLBP]

salut,
?

[sauvezmonannee]

ln(1-u^2), je ne vois pas la suite

[mathelot]

bonsoir,
le développement de Taylor donne



il ne reste plus qu'à dériver

[sauvezmonannee]

Bonsoir,

J'ai trouvé le résultat avec la formule de Taylor mais je dois le retrouver par une autre méthode :

Indication: On donne pour u voisin de 0 :
ln(1 + u) = u −(u^2/2) + . . . + [(−1)^(n+1). u^n/n ]+ o(un)

C'est avec cette méthode que je ne vois pas comment m'y prendre.

[mathelot]

pour (x;y) voisin de (0;1)

h,k deux accroissements réels "petits"



on développe le logarithme:


posons




les termes de degré 3 de (k-h^2)^2 passent dans le petit o.

[sauvezmonannee]

Merci beaucoup !

[mathelot]

à noter que le DL avec le DL du log est bien plus rapide que le DL de Taylor avec le calcul de la différentielle et des termes d'ordre 2