Développement limité

[Jason]

Bonjour,

je révise les DL, cependant j'ai un problème ....

Lorsque je souhaite calculer DL 3(0) : (ln(1+x))/(exp(x)-1) je ne trouve pas le bon résultat...

Je fais ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3 + reste...
exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+reste

exp(x)-1=x+x^2/2+x^3/6+reste

Je fais à présent la division des puissances croissantes. Je divise x-x^2/2+x^3/3 + reste PAR x+x^2/2+x^3/6+reste

et je trouve le DL suivant: 1-x+(2/3)*x^2-(1/6)*x^3 +reste

la correction trouve le même résultat que moi sauf au niveau du x^3 on a -11/24... j'ai refait la division (au cas ou j'avais fait un erreur de calcul et non...)

J'ai une erreur de raisonnement ?? Pour moi la division doit conduire au DL....

Merci !

[zygomatique]

salut

et si tu simplifiais par x ....

ln (1 + x) = x(....)

exp x - 1 = x(....)

[Jason]

je simplifie par x, j'ai ln(1+x)=1-(1/2)x+(1/3)x^2 et exp(x)-1=1+(1/2)x+(1/6)x^2

en faisant la division ça conduit ENCORE MOINS au résultat attendu....

Je suis vraiment perdu si quelqu'un peut m'aider, merci

[Sa Majesté]

Salut

Déjà il faut développer un cran plus loin.
Ensuite je te conseille de passer par 1/(e^x-1), après avoir factorisé par x.

[Jason]

J'ai aussi une question: quand pouvons nous appliquer la division des puissances croissantes pour le quotient d'un DL?? Selon moi, dans tous les cas ?

[Sa Majesté]

Je ne sais pas, c'est trop vieux dans mon souvenir, je ne veux pas raconter de bêtise.
C'est pour ça que je suis passé par le DL de 1/(e^x-1).

[Jason]

1/(exp(x)-1) il n'y a pas de formules usuelles aussi...

Si tu as fait cela sur un papier, j'aimerais bien voir la correction tu as trouvé le résultat attendu?

[pascal16]

je suis très rouillé en DL, mais
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3 + o(x^3)
si tu divises par qq chose qui commence par x, ça devient un DL en o(x^2), il faut donc augmenter d'un degré le numérateur.
DL ordre4 au départ pour avoir de l'ordre 3 à la fin

[pascal16]

C'est bien ça l'erreur, avec un DL4 (numérateur et dénominateur), on a le bon résultat, car on garde un o(x^3) à la fin
liste des restes (coté gauche de la division)
x-x^2/2+x^3/3-x^4/4
-x^2+x^3/6-7x^4/24
2x^3/3-3x^4/24
-11x^4/24

[Kolis]

J'ai aussi une question: quand pouvons nous appliquer la division des puissances croissantes pour le quotient d'un DL?? Selon moi, dans tous les cas ?

On peut toujours lorsque le développement du dénominateur commence par un terme constant non nul !

Plus généralement, si on a par division des parties polynomiales selon les puissances croissantes à l'ordre un développement du quotient de la forme .
Ce ne sera pas un développement limité si ...

[Jason]

Merci Kolis pour la règle sur la division !

pascal16: je susi d'accord tu as trouvé le fameux -11/24 mais tu as divisé x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4 PAR 1+(1/2)x+(1/2)x^2+(1/24)x^3

Autrement dit, tu as divisé le DL de ln(1+x) PAR le DL de exp(x)-1 celui ci divisé par x (de sorte à avoir 1+(1/2)x+(1/2)x^2+(1/24)x^3.

En faisant cette division, tu n'as pas le 1e terme du resultat attendu ? Le 1 .

Resultat attendu : 1-x+(2/3)*x^2-(11/24)*x^3 +reste

[Jason]

Moi quand je divise 1-(1/2)X+(1/3)X^2-(1/4)X^3 PAR 1+(1/2)X+(1/2)X^2+(1/24)X^3

je trouve 1/24x^3 ....

[Jason]

J'ai fait la méthode suivante :
DL ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4
exp(x)-1=x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+(1/24)x^4

je divise par x les deux ,
ln(1+x)=1-(1/2)x+(1/3)x^2-(1/4)x^3
exp(x)-1=1+(1/2)x+(1/6)x^2+(1/24)x^3

je fais ln(1+x)*(1)/(1+u) avec u=(1/2)x+(1/6)x^2+(1/24)x^3

je trouve (enfin) le bon résultat mais avec cette méthode, il y a énormément de calculs==> donc de risque d'erreurs... Cela m’intrigue qu'avec la division nous ne trouvons pas

[pascal16]

x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 divisé par x+x^2/2+x^3/6 +x^4/24
dans x, on loge 1 fois x, donc le premier terme est 1.
premier reste : x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 - 1*(x+x^2/2+x^3/6 +x^4/24) = -x^2-x^3/6-7x^4/24

dans -x^2-x^3/6-7x^4/24, on loge -x fois x, donc le second terme est -x
second reste : -x^2-x^3/6-7x^4/24 - (-x)(x+x^2/2+x^3/6 +x^4/24) = ...

[zygomatique]

il est quand même malheureux de ne pas savoir travailler avec méthode et rigueur ...

(+)



(*)

on développe proprement (*) qu'on multiplie ensuite par (+) ... et on n'a plus besoin de demander quoi que ce soit à qui que ce soit ...

et si on n'a pas été assez loin dans les ordres et bien on recommence en prenant un terme de plus dans les dl ...

[Jason]

Bonjour,
lorsque je résous une équation différentielle, le résultat me semble faux...

(E): xy'+2y=(x)/(1+x^2)
(E0):xy'+2y=0
y=Kexp(-2ln(x)) avec K cste

On recherche une solution particulière avec la méthode de la variation de la cste.
y(x)=Kexp(-2ln(x))
y'(x)=K'(x)exp(-2ln(x))-(2/x)*K(x)*exp(-2ln(x))

On injecte ça dans (E) et cela conduit à

K'(x)*x*exp(-2ln(x))=(x)/(1+x^2)
K'(x)=(1)/(1+x^2) * exp(2ln(x))

Il faut alors intégrer, j'ai essayé de faire une IPP plusieurs fois mais non ... Si quelqu'un peut m'aider... Merci

[zygomatique]

il est triste de ne pas savoir que exp (2 ln x) = x^2 ...

[Jason]

ah oui... lorsque x>0
il est triste alors

merci