Développement limité

[hevanesca]

Bonsoir,

J'espère que vous pourrez m'aider, je suis bloquée au niveau de la 2ème question d'un exercice:

On me demande de montrer que ( n + 1/2) ln (1 + 1/n) - 1 ~ 1/ (12 n^2)
en utilisant le développement limité de ln(1+x) quand x tend vers 0.

Or, le DL(0) de ln (1+x) est x + x^2/2 + x^3/3 + ... il me semble. je n'obtiens pas du tout le résultat recherché et je ne comprends pas...

[jlb]

bonsoir, revois le dl de ln(1+x)!!! et ça ira

[hevanesca]

En effet, j'ai une erreur dans mes notes de cours... mais même en ayant rectifié le DL, je ne vois toujours pas...
j'obtiens: (n + 1/2) - 1 + ( 1/n - 1/2n^2 + 1/3n^3 + o(1/n^3)) et je ne vois pas comment cela peut donner 1/ (12 n^2) ...
notamment pourquoi les n^3 "disparaissent"?

[Robic]

J'ai fait le calcul et je trouve bien le résultat annoncé. Et effectivement, les 1/n³ disparaissent. Pourquoi ? Au début, on fait le développement limité de ln(1+1/n) à l'ordre 3, donc il se termine par o(1/n³). Mais ensuite on le multiplie par (n+1/2) : ce faisant, on va perdre un ordre. En particulier n multiplié par o(1/n³), ça donne o(1/n²). On obtient donc à la fin un développement d'ordre 2. Le terme en 1/n³ doit donc faire partie du o(1/n²).

Remarque au cas où ça serait utile : o(1/n²) + o(1/n³) = o(1/n²).

[hevanesca]

D'accord, je vois! Merci!