Développement limité

[polka-dots]

bonsoir,

je recherche le développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 de arctant/t, mais je ne parviens pas à trouver 1/t.(t+ot(²)) ?

j'applique pourtant la formule habituelle

on me dit aussi que 1/t.(t+ot(²))= 1+o(t) pourquoi? merci

[Finrod]

Arctan(t)=t+o(t²), cela suffit.

Après, il faut savoir que f(t) * o( g(t) = o(f(t) *g(t))

(le petit o commute aux produits)

Si tu doutes, tu peux t'en convaincre en le vérifiant avec la définition du petit o.

[polka-dots]

je ne parviens pas à trouver t+o(t²)
même avec la formule, ça me donne un truc beaucoup plus long (avec les (-1)^n et j'ai du o(t^4)

[polka-dots]

moi jtrouve o(t^4)

[Finrod]

Dans un autre topic tu as écrit que tu avais lim arctan(t)/t = 1 à l'infini.

ce truc, ça implique que arctan est équivalent à t donc égale à t + o(t²) à l'infini.

[polka-dots]

c'était quand t->0 et pas l'infini

mais même, si j'utilise la formule usuelle, jtrouve pas ça et j'arrive toujours pas à comprendre

[Finrod]

Oui, tout est en zéro, au temps pour moi.

La limite est en zéro et implique l'équivalent qui est lui aussi en zéro.

EDIT : ok, c'est quoi cette formule usuelle ?

le dev limité d'un inverse ?

[polka-dots]

c'est celle qu'on utilise en général:

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9 en bas, vers les fonctions usuelles

[polka-dots]

ah ok c'est bon j'ai compris :)

y autre chose que je ne comprends pas:

dans la suite de mon exo, on me donne cette égalité:

-(1/2).(t(1+t²)^(-1) - Arctant)
= -(1/2)t²f'(t) ?

j'arrive pas à trouver cette égalité

[alavacommejetepousse]

Dans un autre topic tu as écrit que tu avais lim arctan(t)/t = 1 à l'infini.

ce truc, ça implique que arctan est équivalent à t donc égale à t + o(t²) à l'infini.

bonsoir

modulo le fait que c'est en O et non infini comme déjà dit le résultat est faux

t + t^(3/2) équivaut à t en 0 et n 'est pas égale à t +o(t^2) ni O(t^2) d 'ailleurs c 'est t + o(t) d 'après l équivalent et pas plus

[Finrod]

Je suppose que f = arctan (t) /t

Auquel cas, calcule f', tu va vite arriver à l'égalité.

@alavamachin > indeed, marche que pour les fonction C infinie ce que j'ai dit. Donc Taylor i.e. la formule usuelle est indispensable.

[alavacommejetepousse]

Je suppose que f = arctan (t) /t

Auquel cas, calcule f', tu va vite arriver à l'égalité.

@alavamachin > indeed, marche que pour les fonction C infinie ce que j'ai dit. Donc Taylor i.e. la formule usuelle est indispensable.

@finrod bidule

ne marche pas point pas plus pour f de classe Cinfini ce serait O

[Finrod]

Oui, là j'étais carrément passé au travers.

Donc C infinie et impaire. Là c'est bon.

ps: dsl pour le pseudo mais j'ai manqué de courage.

[polka-dots]

bah j'ai:

-1/2(tf'(t) - arctant)

mais jpeux pas insérer sa dérivée comme ça, je dois parvenir à -1/2t²f'(t)

[Finrod]

Non, il faut prendre

C'est la dérivé d'une fonction de la forme u/v

[polka-dots]

> Finrod,

ton raisonnement ne marche plus? (voisinage de 0, donc arctan->1, donc dévelop.limité à l'ordre 1 au vois. de 0 c'est bien t+o(t²))

ça marche toujours?

[Finrod]

Bin, soit tu appliques la formules (si tu l'as dans le cours par ex) et tu as directement un dev limité t+o(t²)

Soit tu appliques taylor à l'ordre 2, le coeff devant le x est 1 à cause de la limite calculée et il faut préciser pourquoi le coeff devant le x² est nul. Là tu peux dire que c'est parceque la fonction est impaire, donc sa dérivée est paire et sa dérivée seconde est impaire et s'annule en zéro.

Je ne sais pas quelles sont les exigences requises pour ton exercice. Le second raisonnement redémontre la formule à l'ordre 2.

[polka-dots]

pour moi f(t) est paire et non impaire

[Finrod]

On parle du dev limité de la fonction arctan(t), qui est impaire.

Tu peux aussi obtenir le dév limité de f(t) = arctan(t)/t, il suffit de diviser celui de arctan par t. Tu as f(t)= 1+ o(t).

[polka-dots]

merci Finrod!