Développement limité à l'infini

[CC_]

Hello,

J'ai une petite question à propos des développements limités à l'infii, que nous n'avons pas abordé en cours.

Un théorème dit :
f admet un DL à l'infini ssi h : x --> f(1/x) admet un DL en 0. Autrement dit (je l'écris à l'ordre 1 pour simplifier) :
avec ; si et seulement si :
avec .

Or, je ne comprends pas comment démontrer cela. En effet, j'obtiens plutôt ceci :

Si h a un DL en zéro, alors :
avec .
D'où avec

Il y a donc un petit souci : j'obtiens au lieu de . Et evidemment, du coup, ça marche plus du tout, puisque l'approximation polynomiale n'est pas obtenue en l'infini mais en zéro...

Alors, comment démontrer cette propriété, et qu'est-ce qui cloche dans mon raisonnement? :help:

[anima]

Hello,

J'ai une petite question à propos des développements limités à l'infii, que nous n'avons pas abordé en cours.

Un théorème dit :
f admet un DL à l'infini ssi h : x --> f(1/x) admet un DL en 0. Autrement dit (je l'écris à l'ordre 1 pour simplifier) :
avec ; si et seulement si :
avec .

Or, je ne comprends pas comment démontrer cela. En effet, j'obtiens plutôt ceci :

Si h a un DL en zéro, alors :
avec .
D'où avec

Il y a donc un petit souci : j'obtiens au lieu de . Et evidemment, du coup, ça marche plus du tout, puisque l'approximation polynomiale n'est pas obtenue en l'infini mais en zéro...

Alors, comment démontrer cette propriété, et qu'est-ce qui cloche dans mon raisonnement? :help:

Justement, ce qui t'intéresse pour "construire" un développement limité, c'est que le terme "valeur" du polynôme tende vers 0. 1/x tend bien vers zéro quand x->infini, non?
Alors, cela justifie ton développement limité. (si ca t'aide, pose X=1/x, et utilise X. C'est une question d'habitude)

[CC_]

Salut,

C'est à dire que trouver
ou revient exactement à la même chose?

[anima]

Salut,

C'est à dire que trouver
ou revient exactement à la même chose?

Bien entendu que non. Depuis quand 1/x = x?

Le DL, une fois trouvé pour X, tu dois le "remettre" en x, en remplacant tous les X par leurs inverses :we:

[CC_]

Euh... je crains d'être un gros boulet, ou alors je n'arrive pas à saisir le truc... :briques:

Tu me parles d'un changement de variable X = 1/x, mais je l'ai déjà opéré dans ce passage :

Si h a un DL en zéro, alors :
avec .
D'où avec

Si je le réutilise dans la deuxième ligne, je reviens à la première : je ne fais que tourner en rond et cela ne résout pas mon problème...

Le fait est que lorsque l'on part de dans le DL de h, je vois mal comment on peut arriver à dans le DL de f, quelque soit le changement de variable que l'on fasse... Si le x devient du 1/x par changement de variable dans le DL, il n'y a pas de raison qu'il reste du x "dans le epsilon"... C'est là-dessus que ça coince... Et y a vraiment un truc que je ne vois pas.

[anima]

Euh... je crains d'être un gros boulet, ou alors je n'arrive pas à saisir le truc... :briques:

Tu me parles d'un changement de variable X = 1/x, mais je l'ai déjà opéré dans ce passage :



Si je le réutilise dans la deuxième ligne, je reviens à la première : je ne fais que tourner en rond et cela ne résout pas mon problème...

Le fait est que lorsque l'on part de dans le DL de h, je vois mal comment on peut arriver à dans le DL de f, quelque soit le changement de variable que l'on fasse... Si le x devient du 1/x par changement de variable dans le DL, il n'y a pas de raison qu'il reste du x "dans le epsilon"... C'est là-dessus que ça coince... Et y a vraiment un truc que je ne vois pas.

Tu as fait beaucoup de développements limités, ou pas?
Tu veux un DL d'une fonction à l'infini f(x). Posons donc X=1/x et remplacons
f(X). X tend vers zéro quand x tend vers l'infini. Dès lors, tu peux trouver le DL de f(X).
Une fois que tu as cela:
f(X) = P(X) + X^n*E(X)
Tu retournes à x
f(1/x) = P(1/x) + x^-n*E(1/x)
1/x tend toujours vers 0. On a aussi un /x^n bien joli, qui est donc ce que tu cherchais?

[CC_]

Tu as fait beaucoup de développements limités, ou pas?

Un ou deux tout au plus ^^ On vient juste de finir le cours.

Ok, j'pense avoir compris ta démo, merci :id:
Je reposerai une question si je m'aperçois que ce n'était pas le cas :ptdr:

Merci, bonne soirée!