Developpement limité et fonction

[Epo]

Bonjour bonjour, après recherche je n'ai pas trouvé de réponse à un éxercice dont je ne comprend pas le cheminement de la question 2 et 3

f : R -> R par f(x) = 0 si x<= 0 et f(x) = e(-1/x)
( déjà je ne comprend pas comment un fonction de x peut avoir pour forme "0" sans x dans sa formule ( en clair ecrire une fonction de x sans x me parait bizzar )


1) Démontrons par recurrence que pour n € N f est dérivable n fois sur ]0 +inf[ et que sa dévirvé s'écrit f(n)(x) = (Pn(x)e(-1/x))/(x^2n)

Ceci à été fais mais je l'ai réecrit si le resultat aurait besoin d'être réutilisé.

2) Montre que f est dérivable n fois en 0 et cacluler la dérivée d'ordre n de f en 0

Alors là je vois pas le sens même de la question. Je vois que la 1) n'a pas defini si la fonction etait derivable en 0 ( l"intervalle est fermé ) donc j'ai voulut utilisé le taux d'accroissement :

Lim x->0 : f(x)-f(0) / x-0 soit 0-0 / 0-0 une FI. là je me dit il faut utiliser le DL ou quelque chose comme ca ( le titre de l'exo est DL ) mais comment DL f(x) = 0 ?? enfin si c'est ça.


3) Calculer pour tout n le DL de f en 0 à l'ordre n : Quel conclusion en tirer ?

Faire le Dl de f en 0 c'est dans le cas ou x <= 0 et donc f(x)=0 ? comment faire le Dl de ceci ?



Merci pour l'aide que vous pourriez m'avancer.

Cordialement

[mathelot]

Bonjour,

c'est un exercice classique

on peut utiliser le TAF



et montrer ainsi, comme f' a une limite nulle, quand x tend vers zéro que le nombre dérivé en 0 existe
et vaut zéro

récurrer l'argument à tout ordre n

On en déduit que:
i) le DL est toujours réduit au reste
ii) que la série de Taylor est nulle ,converge vers zéro et donc pas vers la fonction